Задача 3.12
Дана цепь с параллельным соединением ветвей (рис.3.23). Известны сопротивления элементов каждой ветви: R1= 4 (Ом);ХL1= 3 (Ом);
R2= 10 (Ом);R3= 6 (Ом); ХС3= 3 (Ом). Ток в первой ветвиI1= 10 (А). Определить напряжениеU1, приложенное к цепи, полный токI в неразветвленной части цепи, токи в параллельных ветвяхI2, I3, эквивалентные проводимость и сопротивление цепи, построить векторную диаграмму токов и напряжений. Написать выражение для мгновенного тока в неразветвленной части цепи, принимая фазу напряженияU равной нулю. Правильность решения подтвердить составлением баланса мощностей.
Рисунок 3.23 – Схема электрической цепи к задаче 3.12
Решение
Классический метод
1.Определим сопротивление параллельных ветвей:
2. Определим напряжение 1-й параллельной ветви. Это напряжение является одинаковым для всех параллельных ветвей, оно же является напряжением, приложенным ко всей цепи.
3. Ток во второй параллельной ветви:
4. Ток в третьей параллельной ветви:
5. Разложим токи параллельных ветвей на активные и реактивные составляющие:
– токи первой ветви:
где
;
;
где
;
;
– токи второй ветви:
,
где cosφ2 = 1;sinφ2 = 0, так как во второй ветви – только активное сопротивление;
;
;
– токи третьей ветви:
,
где
;
;
,
где
;
.
6. Определим полный ток в неразветвленной части цепи как геометрическую сумму активных и реактивных составляющих токов параллельных ветвей:
7. Определим эквивалентную проводимость цепи:
где
– эквивалентная активная проводимость
всех параллельных ветвей;
– эквивалентная реактивная проводимость
3-х параллельных ветвей, причем со знаком
«плюс» берется
индуктивная проводимость, со знаком
«минус» –
емкостная.
Активные проводимости отдельных ветвей:
Реактивные проводимости отдельных ветвей:
Эквивалентная активная проводимость:
Эквивалентная реактивная проводимость имеет индуктивный характер:
Эквивалентная проводимость цепи:
8. Эквивалентное сопротивление цепи:
9. Выражение для мгновенного тока в неразветвленной части цепи:
Определим амплитудное значение Im и начальную фазу токаφi. Частотаω не задана, оставим ее в выражении в общем виде.
Амплитудное значение тока
Начальную фазу тока определим из
соотношения:
Начальную фазу напряжения цепи согласно
условию принимаем равной нулю
;
угол сдвига фаз можно определить из
треугольников токов ли проводимостей:
или:
Угол сдвига фаз положительный, так как характер нагрузки цепи – активно-индуктивный.
Начальная фаза тока:
Выражение для мгновенного значения:
10. Баланс мощностей.
Условие баланса мощностей:
Активная мощность источника:
Реактивная мощность источника:
Активная мощность приемника:
Реактивная мощность приемника:
11. Векторная диаграмма токов и напряжений.
Начинают построение для параллельной цепи с вектора напряжения Uцепи, так как это напряжение является общим для всех параллельных ветвей. Затем относительно U откладывают активные и реактивные составляющие токов параллельных ветвей в соответствии с приведенными правилами (активные составляющие токов совпадают по направлению с напряжением, индуктивная – отстает на900, емкостная – опережает на тот же угол). Векторы полных токов параллельных ветвей определяются как сумма векторов своих составляющих, полный ток цепи – как сумма векторов токов параллельных ветвей (рис.3.24).
Рисунок 3.24 – Векторная диаграмма к задаче 3.12
Символический метод
1.Полные сопротивления ветвей в комплексной форме:
2. Для определения напряжения цепи в
комплексной форме можно было бы взять
произведение комплексных величин
и токаI1,
приняв начальную фазу равной нулю. Но
при решении классическим методом
начальная фаза, равная нулю, принята у
напряжения цепи. Поэтому вначале
определим модуль напряжения цепиUкак произведение модулейZ1
и токаI1,
примем начальную фазуU
равной нулю и запишем все величины
в комплексной форме:
Напряжение цепи в комплексной форме:
3. Токи параллельных ветвей в комплексной форме:
4. Суммарный ток (в неразветвленной части цепи):
5. Выражение для его мгновенного значения:
6. Полное сопротивление цепи в комплексной форме:
7. Проводимость цепи в комплексной форме:
8. Баланс мощностей.
Мощность источника:
откуда: Рист= 799,82( Вт);Qист = 99,62 (ВАр).
Мощности приемников определяются так же, как и в классическом методе:
