4.1.Понятие квазиимпульса.

Решение уравнение Шредингера для кристалла

(4.1)

можно представить как плоскую волну , распространяющуюся в свободном пространстве (без потенциальной энергии -см.(1.7)), промодулированную периодической функцией_k(r). Как мы уже отмечали, для плоской волныk– волновое число электрона, и импульс электрона . Для свободной частицы вероятность обнаружить её в любой точке пространства одинакова и равнаА². Это отражает тот факт, что все точки пространства эквивалентны и в таком пространстве, как мы знаем, выполняется закон сохранения импульса. В более широком смысле, мы знаем, что законы сохранения являются следствием симметрии пространства и времени – закон сохранения момента импульса является следствием изотропии пространства, закон сохранения энергии является следствием однородности времени и т.д. В случае же кристалла с периодическим потенциалом импульс уже не сохраняется - разный в разных точках пространства, но в то же время он одинаков в точках, отстоящих на период решётки. Другими словами, всё таки, и в случае кристалла имеется некоторая симметрия пространства, и этой симметрии должна соответствовать своя сохраняющаяся величина. Естественно назвать эту величину квазиимпульсом и определить как

(4.2).

Квазиимпульсом, поскольку, во-первых, совпадает размерность. Во-вторых, если период кристаллической решётки устремить к нулю, то квазиимпульс совпадёт с импульсом. И, наконец, в третьих, можно показать, что если к кристаллу приложено внешнее поле V, то скорость изменения квазиимпульса определяется градиентом этого поля

(4.3).

В то же время скорость изменения импульса определяется и внутрикристаллическими силамии внешними силами

(4.4).

Ещё раз акцентируем внимание на том, что квазиимпульс в идеальной кристаллической решётке сохраняется – это означает, что в такой решётке электрон двигается без рассеяния, и нет сопротивления электрическому току. И наоборот, нарушения периодичности решётки приводят к несохранению квазиимпульса электрона – говорят, что электрон рассеивается на нарушениях периодичности, и это рассеяние является причиной электрического сопротивления. Основными нарушениями периодичности в совершенных полупроводниках являются колебания решётки и примесные атомы.

4.2. Зоны Бриллюэна и дискретность квазиимпульса.

Около каждого узла кристаллической решётки можно выделить область пространства, которая ближе к этому узлу, чем к остальным. Такая область называется ячейкой Вигнера-Зейтца. Аналогичную ячейку можно построить и в обратном пространстве. Обратное пространство можно построить таким образом, что скалярное произведение соответствующих векторов в прямом а_iи обратном пространствеb_iравно 2

а_i b_i=2 (4.5).

Смысл введения обратного пространства в том, что энергия электрона зависит от квазиволнового числа (квазиимпульса), которое определяется в обратном пространстве -размерность квазиволнового числа - обратная длина. Оказывается, что определяется неоднозначно – с точностью до вектора обратной решёткиb. Другими словами, волновые функции с квазиволновыми векторамиkиk = k + bфизически эквивалентны – с одной и той же энергиейЕ. Тогда физически неэквивалентными будут значения волнового вектора в пределах ячейки Вигнера-Зейтца, построенной в обратном пространстве. Такую ячейку называют зоной (первой) Бриллюэна. Для кристалла с кубической решёткой зона Бриллюэна в обратном пространстве будет представлять куб объёмом . Все точки, лежащие вне куба, могут быть получены из точек внутри куба при помощи вектора обратной решётки. Поэтому физически неэквивалентные состояния, напримерk_хнаходятся в пределах от нуля до . Обычно начало координат помещают в центре куба и тогда записывают пределы измененияk_хв виде

(4.6).

Аналогично для и для . Пределы изменения квазиимпульса в первой зоне Бриллюэна, очевидно, могут быть записаны следующим образом

(4.7)

Мы с вами рассматривали задачу об электроне в квантовой яме. Там мы получили, что и волновое число и энергия становятся дискретными. Опыт и элементарные расчёты показывают, что с увеличением размера квантовой ямы дискретность и импульса и энергии уменьшается. Обычное кристаллическое тело с реальными размерами (которые используются в приборах) можно рассматривать как очень широкую яму для электронов. Но, чем шире яма, тем меньше дискретность. Можно показать, что число разрешённых значений вектора kв пределах первой зоны Бриллюэна равно числу атомов в кристаллеN. Это означает, что для одновалентных кристаллов с учётом спина электроны заполняют толькоN/2состояний, что означает, что 1-я зона Бриллюэна для валентных электронов заполнена наполовину – в каждом состоянии может находиться по 2 электрона с противоположно направленными спинами. Для двухвалентных кристаллов все состояния будут заполнены. В общем случае, при чётном числе валентных электронов валентная зона будет заполнена. Поэтому мы должны помнить, что, в принципе, значения и квазиимпульса и энергии в пределах 1-йзоны Бриллюэны – дискретные, хотя величина дискретности чрезвычайно мала. Можно показать, что, дискретность энергии составляет порядка 10^-22эВ, и, таким образом, спектр энергии в пределах первой зоны Бриллюэна можно считать квазинепрерываным.