1.4. Электрон в потенциальной яме.
П
одчеркнём,
что вся доступная нам информация о
частице заключается в знании её волновой
функции, а сама волновая функция находится
из решения уравнения Шредингера. Другими
словами, решение любой задачи в квантовой
механике начинается с того, что для этой
задачи записывается уравнение Шредингера.
Для примера, причём важного для нас
примера, рассмотрим задачу об электроне
в потенциальной яме. Предположим, что
электрон может “двигаться” только
вдоль координатыxвнутри потенциальной ямы с бесконечно
высокими стенками, расположенными приx=0и прих=l-
см. рис.1.1. Так как мы рассматриваем
одномерное движение, то уравнение
Шредингера (1.5) сведётся к уравнению
(1.8).
В областях 1 и 3, где потенциальная энергия бесконечно велика, частица находится не может, следовательно, в этих областях и волновая функция частицы равна нулю
.
В области 2 уравнеие (1.8) имеет вид
(1.9).
Введя обозначение
последнее уравнение можно переписать
в виде
(1.10).
Последнее уравнение хорошо известно из теории колебаний3. Его решение может быть записано в виде
(1.11).
Постоянные Аинайдём из условия непрерывности волновой функции и её производной на границах ямы
(1.12).
Непрерывность волновой функции и её первой производной означает, что вероятность не может изменяться скачком. Эти условия, накладываемые на волновую функцию, называются стандартнымиусловиями.
Из первого из уравнений (1.10) следует, что = 0. Из второго из уравнений (1.12) получим, что
(1.13).
Отбрасывая тривиальный случай отсутствия частицы в яме (А=0), уравнение (1.13) удовлетворяется, если
(1.14).
Из (1.14) следует, что k, а, следовательно, и энергияЕ(см. обозначениеk) может иметь только дискретные значения
;
(1.15).
На примере рассмотренной задачи мы получили, что электрон может принимать только дискретные значения энергии, как это показано на рис.1.2. Оказывается, однако, что этот вывод является общим. Из теории дифференциальных уравнений следует, что уравнения вида (1.6) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, только при некоторых значениях параметра Е, которые называются собственными значениями, функции, удовлетворяющие решению (1.6) – собственными функциями, а набор собственных решений называется спектром.
Оценим разницу энергий для соседних энергетических уровней
(1.16).
Для
(масса свободного электрона) и
,
получим, что
Другими словами, дискретность энергии очень мала и на опыте не наблюдается. Если же положить, что l~10-9м=1нм, то в этом случаеE~1эВn, т.е довольно большая величина.
В уравнении (1.11) ещё осталась неопределённой амплитуда волновой функции. Её мы найдём, воспользовавшись условием нормировки волновой функции (1.3)
(1.17).
Окончательно получим, что
(1.18).
На рис.1.3а и 1.3bпоказаны собственные функции, и их квадраты модулей, которые только и имеют физический смысл, а именно дают плотность вероятности обнаружить частицу в пределах потенциальной ямы.
Отметим, что состояние с наименьшей энергией называется основным, а все остальные состояния –возбужденными. Рассмотрим более внимательно возбуждённые состояния на примере первого возбуждённого. Видно из рис.3b, что электрон с равной вероятностью может быть обнаружен в левой и правой половинах потенциальной ямы, но при этом вероятность его обнаружения посередине ямы равна нулю. Ясно, что говорить в этом случае о какой-то траектории электрона не имеет смысла.
ЛЕКЦИЯ 2.