4.3. Понятие эффективной массы.

Тот факт, что энергия электрона в кристалле – чётная функция квазиимпульса (волнового числа) означает, что в центре зоны Бриллюэна при k = 0имеется экстремум энергии. Теперь рассмотрим точки (для простоты будем рассматривать одномерную задачу), лежащие на противоположных краях зоны Бриллюэна, т.е. при и . Эти точки разнесены на

и являются физически эквивалентными. Но плоская волна описывает волну распространяющуюся в положительном направлении осих, а плоская волна распространяется в отрицательном направлении осих. И эти волны должны быть физически одинаковы! Такое может быть только если волны с -стоячие волны. Другими словами, это означает, что скорость электронов на краю зоны Бриллюэна равна нулю. С другой стороны, скорость электрона равна групповой скорости волнового пакета

(4.8).

Таким образом, приходим к выводу, что на границе зоны Бриллюэна также имеется экстремум энергии, поскольку здесь. Могут быть и другие точки в зоне Бриллюэна, где энергия имеет экстремум. Количество и положение этих точек определяется элементами симметрии кристаллической решётки, составляющей полупроводник. В окрестности экстремума (пусть это будет точка) энергию можно разложить в ряд Тейлора. Для простоты будем считать, что обратное пространство обладает сферической симметрией. Тогда

(4.9).

Будем рассматривать малую окрестность вокруг точки , в которой третий член в выражении (4.9) много меньше, чем второй. Тогда

(4.10).

Величина имеет размерность обратной массы. Поэтому величину

(4.11)

называют эффективной массой электрона. Отметим, что в максимуме энергии эффективная масса – отрицательная, а в минимуме – положительная. Она может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона. Поэтому мы говорим об электроне в твёрдом теле как о квазичастице.

Понятие эффективной массы играет чрезвычайно важную роль в физике твердого тела. Оказывается, что если на кристалл воздействует внешнее силовое поле Fext, то ускорение, приобретаемое электроном, определяется из соотношения

(4.12),

в то время как для истинного электрона второй закон Ньютона имеет вид

(4.13),

где - сила, обусловленная кристаллическим полем. Сравнивая выражения (4.3) и (4.12), получаем, что

(4.14)

Отметим, что понятие эффективной массы позволяет записать энергию в окрестности экстремума в виде (см. выражения (4.10) и (4.11))

(4.15).

4.4. Запрещённые и разрешённые зоны энергии. Модель плоских зон.

Разделение веществ по способности проводить электрический ток на три большие класса – диэлектрики, полупроводник и металлы, смогла объяснить квантовая механика в рамках так называемойзонной теориитвердого тела. В соответствие с этой теорией, электроны в кристаллическом твёрдом теле могут принимать ряд квазинепрерывно расположенных значений энергии, объединённых в разрешённые зоны. Между этими зонами расположены запрещённые зоны значений энергии для электронов. Возникновение зонной структуры энергии можно пояснить следующим образом. Предположим, у нас есть 2 атома какого-либо вещества. Мы знаем, что энергия атома может принимать дискретные значения. Рассмотри какой-либо один и тот же уровень для далеко отстоящих друг от друга атомов. Энергия этого уровня будет одинакова для каждого атома. Если начнём сближать атомы, то, вследствие взаимодействия между атомами, один уровень расщепится на 2, причём величина расщепления будет увеличиваться при уменьшении расстояния между атомами, как это показано на рис.4.1. Отметим, что такое расщепление согласуется с принципом Паули, в соответствии с которым в системе на одном энергетическом уровне не может быть более 1-го электрона. Аналогичные рассуждения можно применить к атомам в кристалле – при сближении атомов энергетические уровни отдельных электронов будут расщепляться в зоны, причём величина расщепления зависит от степени взаимодействия. Например, для кремния наиболее сильно взаимодействуют между собой электроны М –оболочки – валентные электроны, и, соответственно, зона энергий, образованная этими электронами, наиболее широкая. Чем ближе электроны к атому, тем слабее их взаимодействие и тем меньше расщепление. На рис.4.2, схематично показана электронная конфигурация кремния –a) и расщепление энергетических уровней –b). Таким образом, разрешённые зоны значений энергии отделяются друг от друга запрещёнными зонами. Отметим ещё раз, что в пределах разрешённой

зоны энергии энергетические уровни будут дискретными, но величина дискретности очень мала – порядка ширины зоны, делённой на число атомов в кристалле. Из рис. 4.2 ясно, что для нас главное значение имеют зоны, образованные с участием валентных электронов, поскольку зоны, образованные из заполненных электронных оболочек атомов, также будут заполнены электронами, и, следовательно, электроны этих зон не могут принять участие в процессах переноса электрического тока. Поэтому, в теории твердого тела под запрещённой зоной понимают запрещённую зону энергий между валентной зоной и следующей за ней свободной зоной (также называемой зоной проводимости), образованной, например, из возбуждённых (пустых) электронных оболочек атомов. На рис. 4.3. Схематично показана зонная структура кристаллического твёрдого тела вмодели плоских зон.

Лекция 5.