2.3. Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую гармонические колебания под действием квазиупругой силы F=-kx. Как показывается в классической механике, потенциальная энергия гармонического осциллятора имеет вид (см.также сплошную кривую на рис.2.2)

(2.6).

Здесьm- масса частицы,- собстве нная частота. С учётом (2.6) одномерное уравнение Шредингера для гармонического осциллятора записывается как

(2.7).

Можно показать (мы этим заниматься не будем), что уравнение (2.7) имеет решения только если энергия Епринимает дискретные значения, определяемые как

(2.8).

Следует иметь, однако в виду, что в квантовой механике полную энергию нельзя представлять как сумму точно определённых кинетической и потенциальной энергий.

Отметим две важные особенности полученного результата (2.1). Во первых, полная энергия квантуется, т.е. может принимать только фиксированные значения. Во вторых, для квантового осциллятора характерно наличие так называемых нулевых колебаний. Наличие нулевой энергии, соответствующей нулевым колебаниям, согласуется с соотношением неопределённости, в соответствии с которым частица не может иметь определённых значений энергии и импульса одновременно. Это означает, что частица не может обладать энергией, равной нулю. Этот вывод является общим, независимо от формы потенциальной ямы.

2.4. Атом. Квантовые числа. Спин. Принцип паули. Заполнение электронами оболочек.

Для вас уже не является удивительным, что энергия электронов в атомах может принимать дискретные значения – см.рис.2.3. Так, например, энергия электрона в атоме водорода может принимать значения

(2.9),

что следует из решения соответствующего уравнения Шредингера. Из этого решения также следует, что момент импульса электрона Lтакже может принимать только дискретные значения

(2.10)

Здесь lназывается орбитальным квантовым числом и может принимать значения

l = 0,1,2…n-1 (2.11),

т.е. всегоnзначений. Квантуется также и проекция момента импульса на направление внешнего магнитного поляz:. Магнитное квантовое число может принимать значения

m = 0, 1, 2,… l (2.12).

Из (2.12) нетрудно видеть, что всего mможет принимать2l+1значений.

Энергия состояния прежде всего определяется главным квантовым числом – см. (2.9). Разные состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число таких состояний называется кратностью вырождения. Кратность вырождения, соответствующая числу n, можно определить как

(2.13).

В квантовой механике показывается, что микрочастица обладает собственным механическим моментом импульса, который назвали спин. Спин электрона может принимать только два значения: +1/2 и -1/2 (в единицах)⁴. Таким образом, состояние электрона в атоме может быть охарактеризовано 4-я квантовыми числами – главным квантовым числомn, орбитальным квантовым числомl, магнитным квантовым числомmи спиновым квантовым числомs. Для электронов В.Паули сформулировал принцип, который в простейшем виде можно представить какдля электронов в атоме не может быть более 1 электрона с одинаковым набором 4-х квантовых чисел.Теперь, с учётом спина, в состоянии с одним и тем же главным квантовым числомnможет находиться2n²электронов. В атомной физике состояние сl = 1называютs-сотоянием, l = 2– p-состоянием,l = 3 – d-состоянием. Теперь следует вспомнить, что заселение электронов в различных атомах можно объяснить как результат существования 2-х принципов – принципа минимума энергии и принципа Паули. В соответствии с первым принципом – все электроны в атоме должны были бы занять состояние сn = 1, однако, с учётом принципа Паули в этом состоянии может быть не более 2 электронов и на этом заполнение оболочки сn = 1(К-оболочка) заканчивается. Далее начинает заполняться L –оболочка сn =2. В ней может находиться 8 электронов. В M –оболочке (n=3) может находиться 18 электронов. Распределение электронов в атоме по оболочкам может быть записано при помощи электронной конфигурации. Например, для кремния (порядковый номер 14 в таблице Менделеева) электронная конфигурация имеет вид 1s²2s²2p⁶3s²3p². Это означает, что M –оболочка не заполнена и в ней находится 4 валентных электрона.