- •1.1. Идея де бройля
- •1.2. Волновая функция
- •1.4. Электрон в потенциальной яме.
- •2.1. Соотношение неопределённости гейзенберга
- •2.3. Гармонический осциллятор.
- •2.4. Атом. Квантовые числа. Спин. Принцип паули. Заполнение электронами оболочек.
- •2.5. Уравнение шредингера для системы частиц.
- •3.1. Класс веществ – полупроводники.
- •3.2. Собственные полупроводники. Электронная и дырочная проводимости.
- •3.3. Примесные полупроводники.
- •3.4. Основы зонной теории полупроводников. Гамильтониан кристалла
- •3.5. Адиабатическое и одноэлектронное приближения. Функция блоха
- •4.1.Понятие квазиимпульса.
- •4.2. Зоны Бриллюэна и дискретность квазиимпульса.
- •4.3. Понятие эффективной массы.
- •4.4. Запрещённые и разрешённые зоны энергии. Модель плоских зон.
- •5.1. Диэлектрики, полупроводники и металлы в зонной теории.
- •5.2. Законы дисперсии носителей заряда в зонах.
- •5.4. Плотность состояний для электронов и дырок в полупроводниках.
- •6.1. Функция распределения. Вырожденные и невырожденные полупроводники.
- •6.2. Колебания решётки кристалла. Фононы.
- •6.3. Электронно-дырочный переход.
2.5. Уравнение шредингера для системы частиц.
Тот факт, что в квантовой механике невозможно одновремённое определение координаты и импульса микрочастицы, приводит к тому, что “математический аппарат квантовой механики резко отличается от математического аппарата классической механики, в которой задание пары величии px,химеет полный смысл”5. Принципиальное отличие математического аппарата квантовой механики от аппарата классической механики заключается в том, что в квантовой механике каждой измеряемой механической величинеL(вернее, среднему значению этой величины) сопоставляется так называемый самосопряжённый (эрмитов) оператор : . Оператор изображает квантовую величину со свойствами, аналогичными классической величинеL. В математическом смысле оператор определяет правило, в соответствии с которым одной функции сопоставляется другая
(2.14).
Среднее значение этой измеряемой физической величины в квантовой механике определяется формулой
(2.15)
Здесь интеграл берётся по всему объёму изменения переменных, от которых зависит величина . Можно показать, что для состояний, в которых измеряемая величина имеет единственное значение , выполняется уравнение
(2.16)
В общем случае уравнение (2.16) является линейным однородным дифференциальным уравнением, а функция и величина , при которых выполняется уравнение (2.16) называются соответственно собственной функцией и собственным значением оператора . Примерами операторов могут служить оператор проекции импульса
(2.17)
оператор кинетической энергии частицы
(2.18)
(Здесь- известный уже нам дифференциальный оператор Лапласа) и ряд других операторов. Отметим, что оператор потенциальной энергии совпадает с выражением для потенциальной энергии . Тогда оператор полной энергии частицы записывается как
(2.19),
и уравнение на собственное значение энергии для одной частицы будет иметь вид
(2.20).
Здесь - оператор Гамильтониана, или гамильтониан. Здесь следует сказать, что в классической механике под гамильтонианом понимают полную энергию, выраженную через импульсы и координаты.
С учётом (2.19) последнее уравнение перепишем в виде
(2.21)
Это уравнение уже нам знакомо – это есть уравнение Шредингера для стационарных состояний для одной частицы. Более общей формой уравнения Шредингера для стационарных состояний для системы частиц является уравнение (2.20), в котором теперь гамильтониан должен учитывать все виды взаимодействия между частицами.
ВЫВОДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.
Каждая микрочастица обладает корпускулярно-волновым дуализмом. Это означает, что для микрочастицы присущи как волновые, так и корпускулярные свойства.
Каждой микрочастице сопоставляется волновая функция, явный вид которой находится из уравнения Шредингера.
Энергия частицы, которая находится в потенциальной яме, квантуется.
Для микрочастицы неприменимо понятие траектории.
На значения координат и импульсов частицы, также как энергии и времени, накладываются ограничения, вводимые соотношением неопределённостей Гейзенберга.
Для микрочастиц возможно прохождение через потенциальный барьер, высота которого больше полной энергии частицы.
Полная энергия микрочастицы не может обратиться в нуль, поскольку это запрещают соотношения неопределённостей.
Полная энергия микрочастиц не может быть точно представлена как сумма потенциальной и кинетической энергии частицы.
Заселение электронами оболочек атома осуществляется в соответствии с 2-я принципами – минимума энергии и принципа Паули.
Каждой измеряемой физической величине в квантовой механике соответствует самосопряжённый (эрмитов) оператор. Полной энергии системы частиц соответствует оператор Гамильтона, или гамильтониан.
Уравнение Шредингера является уравнением на собственную функцию и собственные значения оператора Гамильтона.
ЛЕКЦИЯ 3.