5.2. Законы дисперсии носителей заряда в зонах.

Мы уже отмечали важность расчёта зависимости E(k). Несмотря на то, что многозарядную задачу для кристалла нам удалось свести к одноэлектронной задаче, решение и этой задачи не представляется возможным, поскольку мы не знаем явный вид периодического потенциала. Тем не менее, многие процессы в твёрдом теле можно понять, используя приближённые методы решения уравнения Шредингера. Известны, например, решения для квазисвободного электрона и квазисвязанного электрона. В первом из этих методов периодическое поле рассматривается как возмущение для свободного электрона, а во втором – возмущением для электрона в изолированном атоме является взаимодействие данного электрона со всеми остальными атомами и электронными оболочками. Первый метод больше соответствует металлам, а второй – полупроводникам. Однако в обоих методах проявляются основные особенности зонной структуры кристаллов. Ниже приведены основные выводы, которые следуют из различных методов расчёта.

1. С ростом энергии ширина разрешённых зон увеличивается, а ширина запрещённых зон уменьшается.

2. Эффективная масса электронов в более высоких зонах энергии меньше, чем в более низких.

3. Энергия является квадратичной функцией квазиволнового вектора в окрестности экстремумов.

Соответственно, законы дисперсии рассчитывают для зоны проводимости и валентной зоны. На рис.5.3 приведены упрощенные⁹законы дисперсии для двух типичных полупроводников – кремния и арсенида галлия, выполненные методом псевдопотенциала и взятые из книги Ю. Кардоны¹⁰. Прежде всего, отметим, что абсолютные экстремумы в зоне проводимости и в валентной зоне кремния находятся в разных точках обратного пространства. Поэтому кремний и полупроводники с подобным несовпадающими поkабсолютными экстремумами энергии называютсянепрямозонными. И, наоборот, для арсенида галлия экстремумы в зоне проводимости и в валентной зоне находятся в центре зоны Бриллюэна. Полупроводники с совпадающими поkабсолютными экстремумами называютсяпрямозонными. Из рис. 5.3 также видно, что в различных точкахk-пространства зависимостиE(k)имеют разные наклоны. Можно показать, что это соответствует различным эффективным массам электронов. В самом деле, как следует из соотношения

(5.2)

лёгким массам носителей заряда соответствуют более крутые зависимости энергии от квазиволнового числа. Из рис. 5.3 также видно, что валентная зона – сложная. Она состоит из трёх подзон – тяжёлых и лёгких дырок, имеющих об щую точку приk=0 (говорят, что эти подзоны вырождены¹¹в этой точке), и третьей, отщеплённой от этих двухспин-орбитальным взаимодействием.

5.3. Примеси в полупроводниках.

Концентрация атомов легирующей примеси в полупроводниках много меньше концентрации атомов основного вещества, но именно атомы примеси определяют электропроводность полупроводника. Мы уже отмечали для атомов мышьяка в кремнии, что 5-й валентный электрон слабо связан с атомным остовом и достаточно ему сообщить небольшую энергию, чтобы он стал свободным (т.е. оказался в зоне проводимости) и смог принять участие в переносе электрического тока. На языке зонной теории это означает, что донорный атом создаёт уровни энергии в запрещённой зоне, поэтому энергию будем отсчитывать от дна зоны. Сейчас мы оценим, насколько слабо связан этот электрон с атомом. Рассмотрение будем вести полуклассически, основываясь на Боровской теории атома водорода. Итак, 4 электрона атома мышьяка участвуют в образовании 4-х парноэлектронных связей с ближайшими атомами кремния, как это показано на рис. 3.3а. Пятый же электрон слабо связан с ядром – на языке теории Бора этому соответствует орбита большого радиуса, охватывающая много соседних атомов. Наличие среды (матрицы кремния), которая уменьшает энергию взаимодействия этого электрона с ядром, учтём введением диэлектрической проницаемости среды . Эффективный заряд атомного остова обозначимZe. Для атома мышьякаZ = 1. Другими словамиZравно разности валентных электронов атома примеси и атома матрицы. Тогда потенциальная энергия взаимодействия электрона с “ядром”Ze, будет записываться как

(5.3),

а полная энергия Н,как обычно, равна сумме кинетическойТи потенциальной энергийV

(5.4).

Второй закон Ньютона для движения электрона по круговой орбите под действием силы Кулона будет иметь вид

(5.5).

Сокращая на rи деля на 2, из (5.5) получим связь между кинетической энергией и потенциальной

(5.6).

Полная энергия

(5.7).

По Бору, устойчивыми будут такие орбиты, для которых момент импульса будет квантованным

(5.8)

Из (5.8) находим , подставляем в (5.5) и получаем, что

(5.9).

Из (5.9) видно, что радиус боровских орбит увеличивается с увеличением  и n².

Теперь подставим (5.9) в (5.7) и получим возможные значения энергии

(5.10)

Сравнивая (5.10) с энергией атома водорода (2.9) находим, что

(5.11)

Из (5.11) видно, что структура энергетических уровней донорной примеси аналогична структуре уровней для атома водорода, показанной на рис. 2.3. Энергия ионизации равна по модулю энергии основного состояния с n = 1:

(5.12)

Здесь мы подставили значение энергии ионизации атома водорода . Проанализируем выражение (15.12). Видно, что глубина залегания донора под дном зоны проводимости:

- будет больше для двукратно ионизированного атома примеси, чем для однократно

ионизированного,

- меньше для полупроводников с малой эффективной массой,

- больше для полупроводников с меньшим значением диэлектрической проницаемости.

Все полученные нами выводы подтверждаются на практике. Так, для германия = 16, а для кремния = 12, поэтому энергия ионизации мышьяка для германия меньше, а для кремния меньше. На рис. 5.4а схематично показано положение донорной примеси в запрещённой зоне. С увеличением концентрации доноров расстояние между ними уменьшается и примесные уровни (как основной, так и возбужденные) расщепляются в примесную зону. При этом энергия ионизации, естественно, уменьшается.

Аналогичный анализ можно провести для акцепторной примеси. При этом для энергии связи акцептора получится формула, аналогичная (5.12) с учётом того, что теперь энергии отсчитывается от потолка валентной зоны вглубь запрещённой зоны.