3.5. Адиабатическое и одноэлектронное приближения. Функция блоха

Масса ядер атомов М_во много раз больше массы электроновm_е. Например, для кремнияМ_/ m_е 10⁴.Это означает, что на движение массивных ядер оказывает влияние не поле, обусловленное мгновенным положением электронов, а поле, обусловленное усреднённым по времени положением электронов. В то же время вся совокупность электронов практически мгновенно реагирует на изменения в положении ядер. Это позволяет не учитывать движение ядер, а рассматривать только движение электронов. Тогда, в гамильтониане (3.9) кинетическая энергия ядер будет равна нулю, а потенциальная энергия взаимодействия ядер (3.7) будет равна некоторой постоянной, которую можно положить равной нулю – напомним, что потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной, которую выбирают, исходя из условия удобства решения задачи. Т.о., в отсутствие внешних полей, электронный гамильтониан будет иметь вид

(3.10),

а уравнение Шредингера

(3.11)

Такое рассмотрение называется адиабатическим приближением, или приближением Борна-Оппенгеймера⁷.

Следующим разумным упрощением будет ассоциировать все электроны атома, кроме валентных, с атомным остатком, или ионом. Это означает, что уравнение (3.11) записывается только для валентных электронов. Тем не менее, даже при этих упрощающих предположениях это уравнение не решается. Самой большой сложностью в этом уравнении является наличие перекрёстных членов, обусловленных потенциальной энергией взаимодействия электронов. Но и здесь возможны упрощения, суть которых заключается в следующем. Каждый i-й электрон движется в поле, созданном всеми остальными электронами. Это поле, в свою очередь, также определяется движениемi-го электрона. Таким образом, движение всех электронов оказывается взаимосогласованным. Это позволяет ввести в рассмотрение самосогласованное поле, в котором потенциальная энергияi-го электрона равна_i. Тогда, в этом поле гамильтониан (3.10) может быть записан как

(3.12).

Здесь гамильтониан i-го электрона

(3.13).

В (3.13) - потенциальная энергияi-го электрона в поле всех остальных ядер. Таким образом, введение самосогласованного поля позволило не рассматривать взаимодействие электронов и свести задачу к системе уравнений для одного электрона. Поэтому в дальнейшем индексiопустим.

Последние 2 члена в (3.13) можно объединить и назвать потенциальной энергией электрона в кристалле U(r)

U(r) = (r) + U(r,R₁,R₂…) (3.14)

Теперь гамильтониан произвольного электрона будет иметь вид

(3.15).

Конечно, мы не знаем явный вид потенциального поля U(r).Однако, мы можем высказать некоторые суждения, основываясь на кристаллической структуре полупроводника. Именно, мы можем сказать, что потенциал должен быть периодической функцией некоторого вектора трансляцииn

n = n₁a₁+n₂a₂+n₃a₃ (3.16).

Здесь n_i –произвольные целые числа, a_i - периоды кристаллической решётки вдоль трёх (например, осей декартовой системы координат) произвольных направлений. Периодичность потенциала означает, что

U(r + n) = U(r)(3.17)

На рис.3.4. схематично показан периодический потенциал одномерной решётки. Можно строго показать, что, независимо от конкретного вида периодического потенциала, решение уравнения Шредингера с потенциалом (3.17) имеет вид

(3.18),

_k(r+n) = _k(r)

где _k(r)– периодическая функция с периодом решётки,k– квазиволновой вектор электрона. Функция (3.18) называется функцией Блоха. Поскольку волновая функция электрона в кристалле является функцией квазиволнового вектора электрона, то, следовательно, и энергия электрона должна являться функциейk⁸. Отметим, что из (3.18) для функции Блоха следует, что энергия является чётной функцией k

E(k) = E(-k) (3.19).

Отыскание зависимости E(k)является основной задачей зонной теории, и эта зависимость называется законом дисперсии электронов.

Лекция 4.