3.3. Примесные полупроводники.

Получение собственных полупроводников представляет собой сложную техническую и технологическою задачу. Для этого надо очистить полупроводник от различных примесей, которые, как правило, определяют тип проводимости. Но чаще ту или иную примесь вводят в полупроводник сознательно (такая операция называется легированием полупроводника), чтобы обеспечить неравенство электронов и дырок. Именно различие чисел электронов и дырок лежит в основе работы большинства полупроводниковых приборов. Проводимость, обусловленную наличием примеси в полупроводнике, называют примеснойпроводимостью. При этом примесь, которая поставляет свободные электроны, называютдонорнойпримесью, а примесь, которая увеличивает число дырок в полупроводнике, называютакцепторнойпримесью. Как правило, донорами являются примеси, валентность которых больше валентности атомов основного вещества полупроводника, а у акцепторов валентность, соответственно, меньше. Например, мышьяк с валентностью 5, является донором для кремния. 4 валентных электрона мышьяка принимают участие в образовании парноэлектронных связей с ближайшими атомами кремния, а 5-й валентный электрон оказывается слабо связанным со своим атомом и достаточно ему сообщить небольшую энергию, чтобы он стал свободным и смог принять участие в переносе электрического тока – как это схематично показано на рис.3.3а. Оставшийся ион мышьяка будет электрически заряженным положительно, но, поскольку он находится в узле кристаллической решётки, то не может принять участие в переносе электрического тока. И наоборот, если пролегировать кремний трехвалентным веществом, например бором, то 3 его валентных электрона примут участие в образовании парноэлектронных связей с 3-я ближайшими атомами кремния, а недостаточный электрон для образования 4-й связи может быть получен от какого либо из ближайших атомов кремня. Таким образом, бор становится заряженным отрицательно, а образовавшаяся в матрице кремня дырка может принять участие в переносе электрического тока, как это схематично показано на рис.3.3 b.

3.4. Основы зонной теории полупроводников. Гамильтониан кристалла

В предыдущем параграфе на примере кремния мы видели, что способность полупроводников проводить электрический ток определяется валентными электронами. Таким образом, перед нами стоит задача описать поведение таких электронов. Задача это чрезвычайно сложная, поскольку все электроны полупроводника попарно взаимодействуют друг с другом и ядрами. Для того, чтобы найти характер движения валентных электронов, необходимо решить уравнение Шрёдингера (2.20) с гамильтонианом, учитывающим все виды энергии полупроводника, в том числе энергии взаимодействия между различными зарядами полупроводника для систем взаимодействующих зарядов. Ниже перечислены все составляющие гамильтониана:

1) кинетическая энергия электронов

(3.4),

2) кинетическая энергия ядер

(3.5),

3) потенциальная энергия попарного взаимодействия электронов

(3.6),

4) потенциальная энергия попарного взаимодействия ядер

(3.7),

5) потенциальная энергия попарного взаимодействия электронов с ядрами

(3.8),

6) энергия всех частиц во внешнем поле .

Таким образом, полный гамильтониан кристалла и уравнение Шредингера для кристалла будут иметь вид

(3.9).

Решением (3.9) будет волновая функция кристалла, зависящая от координат всех электронов и ядер – всего от 3(Z+1)Nпеременных: . Знание этой волновой функции позволяет, в принципе, описать движение любой частицы в кристалле. Но очевидно, что уравнение (3.9) невозможно решить в общем виде, поскольку концентрация атомов в кристалле составляет примерно 5*10²²cм^-3, а общее число переменных, например, для 1 см³кремния (Z=14) - 2*10²⁴. Необходимы разумные упрощающие предположения.