6.2. Колебания решётки кристалла. Фононы.

Мы уже отмечали, что основными нарушениями периодичности кристаллической решётки, которые так или иначе влияют на работу всех полупроводниковых приборов, наряду с примесями, являются и колебания атомов решётки. Атомы в узлах кристаллической решётки совершают непрерывные хаотические колебания около положений равновесия. Амплитуда этих колебаний зависит от температуры. Носители тока в полупроводниках – электроны и дырки – при своем движении обмениваются энергией с атомами. Благодаря этому, устанавливается тепловое равновесие между электронной и дырочной подсистемами, с одной стороны и решёткой – с другой стороны. Это равновесие можно характеризовать температурой, одинаковой и для электронной и для атомной подсистем. Но, чтобы описать обмен энергией между электронами и решёткой, нужно вначале найти наиболее простое математическое описание колебаний всех атомов в твёрдом теле.

Полная колебательная энергия состоит из кинетической энергии каждого атома и потенциальной энергии решётки. Последняя складывается из потенциальной энергии взаимодействия каждого атома со всеми остальными атомами решётки. Как правило, смещения атомов из положений равновесия небольшие по сравнению с расстоянием между ними, поэтому можно ограничиться случаем малых колебаний. Тогда потенциальную энергию раскладывают в ряд Тейлора около положений равновесия

(6.7)

Здесь точками обозначены члены с производными более высоких порядков, - смещенияn-го (m-го) атома вi-й (j-й) элементарной ячейке¹⁴из положения равновесия.- постоянная величина (потенциальная энергия в точке равновесия), и её можно опустить, выбрав соответствующим образом начало отсчёта энергии. Выражение (6.7) можно упростить так, чтобы в нём не было перекрёстных членов. Это можно сделать при помощи так называемыхнормальных координат.Задача нахождения нормальных координат представляет собой известную в линейной алгебре задачу приведения квадратичной формы (6.7) к сумме квадратов. Энергия, записанная в нормальных координатахx_q, представляет собой сумму энергий независимых гармонических осцилляторов

(6.8)

Здесь M– масса всех атомов в элементарной ячейке,q– волновой вектор волны, которая распространяется вследствие нормальных колебаний каждой ячейки,s– соответствует типам колебаний в распространяющейся волне – всего 2 поперечных (T) и 1 продольный (L) типы колебаний. Отметим, что общее число переменных, по которым ведётся суммирование в (6.8), равно числу переменных, по которым ведётся суммирование в (6.7). Подчеркнём, что одно нормальное колебание не может быть приписано какому-либо одному атому, но описывает колебания всех атомов кристаллической решётки. Т.о., из (6.8) следует, что имеетсяqзначений частот и можно показать, что эти частотыпериодически повторяются с периодом обратной решётки, что, в конечном итоге, является следствием трансляционной инвариантности кристалла. Зависимостьназывается законом дисперсии и его приводят для первой зоны Бриллюэна. Для элементарной ячейки германия и кремния, состоящей из двух атомов, дисперсионные кривые показаны на рис.6.3. Видно, что они состоят из трёх ветвейакустических(A) колебаний (с более низкими энергиями) и трёх ветвей оптических (O) колебаний. Акустические колебания соответствуют длинным волнам и названы так потому, что скорость распространения этих колебаний в кристалле равна скорости звука. Эти колебания обусловлены синфазным движением атомов в одной элементарной ячейке, как это показано на рис. 6.4. Оптические колебания соответствуют движению атомов в элементарной ячейке навстречу друг другу (см. рис.6.4) и характерные частоты таких колебаний находятся в инфракрасной области спектра электромагнитных колебаний - поэтому их и назвали оптическими.

В квантовой механике гамильтониан (6.8) будет иметь аналогичный вид

(6.9).

Здесь - оператор импульса и, для простоты, черезfобозначена вся совокупность переменныхqиs:f = {q.s}. Пределы измененияf = 0,1,… 3qs = N.

Решение уравнения Шрёдингера с гамильтонианом (6.9) известно, и полная энергия системы

(6.10).

Энергия одного гармонического квантового осциллятора может измениться только дискретно – на величину. Этот квант энергии называется фононом, а увеличение энергии решётки на энергию фонона трактуется как поглощение фонона, и соответственно, уменьшение энергии – как испускание фонона. Фононы –квазичастицы. Они могут существовать только в твёрдом теле. Т.о., кривые, представленные на рис. 6.3 можно трактовать как дисперсионные кривые для фононов.