Уравнение прямой линии в полярных координатах

Из рисунка видно, что:

Отсюда

или

Лекция 7. Линии второго порядка

Линии второго порядка это эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые представляют собой так называемые конические сечения. Это сечения конуса плоскостью. В зависимости от того, как проходит плоскость получается либо эллипс, либо парабола, либо гипербола. В механике линии второго порядка определяют траектории движения теля в поле центрального тяготения. Так, материальная точка (спутник) движется в поле тяготения Земли по эллипсу. Если его скорость равна второй космической, то по параболе, а если превысит вторую космическую – то по гиперболе.

Общее уравнение кривой второго порядка – это полином второй степени:

a₁₁ x² + 2 a₁₂ x y + a₂₂ y² + 2 a₁₃ x + 2 a₂₃ y + a₃₃ = 0

В математике доказывается (мы этим займемся через несколько лекций), что путем преобразований координат – поворотов осей и переносов осей можно всегда данное уравнение привести к виду:

a₁₁ x² + a₂₂ y² = a₃₃ или y²= 2px

Такой вид уравнения кривой второго порядка называется каноническим.

Более того, доказывается также, что этими тремя линиями ( эллипс, парабола, гипербола) исчерпываются все линии второго порядка.

Рассмотрим в отдельности каждую кривую.

Каноническое уравнение эллипса. Эллипс получается, если плоскость пересекает все образующие конуса.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точекF₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Очевидно, при совпадении точек F₁ и F₂ эллипс представляет собой окружность.

Выведем каноническое уравнение эллипса: выберем начало координат в середине отрезка F₁F₂. Обозначим длину отрезка F₁F₂=2с, а расстояние, о котором мы говорили в определении эллипса – через 2а.

Лучше проделать следующие преобразования: умножим правую и левую части (*) на разность радикалов

, сложим снова с (*) и возведем в квадрат

Отсюда

Величиныa и b называются большой и малой полуосями соответственно. Строим эллипс:

Каноническое уравнение гиперболы. Гипербола получается, когда плоскость пересекают образующие обеих полостей конуса.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выберем опять оси координат и начало координат посередине отрезкаF₁F₂. Расстояние F₁F₂ равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Аналогично предыдущему выводу уравнения эллмпса, имеем:

Преобразуем, как и ранее к виду:

Величины a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы соответственно. Строим гиперболу:

Сопряженная гипербола – ее ветви будут направлены вверх и вниз. Асимптоты гиперболы очевидно определяются уравнениями:

2а и 2в – действительная и мнимая оси гиперболы соответственно.

Каноническое уравнение параболы. Парабола получается, когда плоскость, пересекающая конус, параллельна одной из образующих. В механике космического полета существует так называемая параболическая скорость. Иначе еще она называется второй космической скоростью. Тело, имеющее вторую космическую скорость, движется по параболе, а если скорость больше – то по гиперболе.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фркусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.

Для вывода уравнения построим:

Согласно определению:

Это и есть каноническое уравнение параболы. Параметр р называеся параметром параболы. К примеру, параболаy = x²: p=1/2

Фокус – это точка F ( 0, 1/4), директриса y = - 1/4

Оказывается, директрису можно определить и для эллипса и для параболы. Заметим, что для параболы директрису можно определить и так: отношение расстояний от точки параболы до фокуса и до директрисы есть величина постоянная, равная единице. Для эллипса и гиперболы можно также ввести прямую, для которой отношение расстояний от некоторой точки эллипса или гиперболы до фокуса и до прямой, называемой тоже директрисой, есть величина постоянная.

Для выяснения этого свойства введем определение: эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная e=c/a.

Если обратиться к уравнениям эллипса и гиперболы, то можно получить для е выражение:

- эллипс

- гипербола

e < 1 для эллипса

e = 0 для окружности

e > 1 для гиперболы

Заметим, что величина эксцентриситета для эллипса характеризует его вытянутость, а для гиперболы – величину угла раствора ветвей гиперболы. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше угол раствора ветвей.

Определение: директрисой D₁ эллипса, отвечающей фокусу F₁ является прямая, расположенная в той же полуплоскости, что и фокус F₁ , перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.

Уравнение директрисыD₁:

Уравнение директрисы D₂:

Теперь докажем теорему: отношение расстояния r₁ от точки эллипса M(x,y) до фокуса F₁ к расстоянию d₁ от этой точки эллипса до директрисы D₁ есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: .

Действительно:

Нормированное уравнение директрисы есть:

Расстояние d₁, очевидно есть (подставляем координаты точки М в нормированное уравнение):

отношение

Теорема доказана.

Определим директрису для гиперболы. ДиректрисойD₁ гиперболы, отвечающей фокусу F₁ называется прямая, расположенная в полуплоскости, где расположен фокус F₁, перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии от центра.

Можно доказать, аналогично эллипсу, теорему: отношение расстояние r₁ некоторой точки гиперболы до ее фокуса F₁ к расстоянию до директрисы d₁ равно .

Эти свойства эллипса и гиперболы позволяют дать новое определение этих кривых. Действительно следующее утверждение: геометрическое место точек М на плоскости, для которых отношение е расстояния r до точки F к расстоянию d до некоторой прямой D есть величина постоянная, представляет собой эллипс, если e < 1 или параболу, если e = 1, или гиперболу, если е  1. При этом точка F называется фокусом, а прямая D – директрисой рассматриваемого места точек.