Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии

Рекомендуемая литература:

1. Владимир Александрович Ильин, Эдуард Генрихович Позняк

Линейная алгебра, любое издание.

2. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк

Аналитическая геометрия, любое издание.

3. Э.Л.Блох, Л.И.Лошинский, В.Я.Турин

Основы линейной алгебры и некоторые её приложения.

4. Павел Сергеевич Александров

Лекции по аналитической геометрии

5. Александр Николаевич Рублев.

Курс линейной алгебры и аналитической геометрии.

6. Евгений Викторович Шикин, Алексей Викторович Боресков.

Компьютерная графика. АО «ДИАЛОГ-МИФИ», 1995.

6. Давид Викторович Клетеник

Сборник задач по аналитической геометрии.

Лекция 1.

Что такое алгебра ? Исторически алгебра сложилась как наука о решении уравнений. Ещё в древнем Вавилоне 4000 лет назад люди уже умели решать квадратные уравнения. Это умение возникло из практической необходимости решать задачи земледелия, строительства, военного искусства. К примеру, на одной из глиняных табличек, относящихся к тому времени учёные историки расшифровали задачу:

Площадь двух квадратов равна 1000. Сторона одного квадрата составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов ?

Эта задача приводит к системе уравнений:

которая сводится к квадратному уравнению:

Отсюда x=30, а y=10.

Разумеется, система записи математических соотношений была иной.

Само название “алгебра” восходит к арабским учёным. В 825 году был написан учебник “Краткая книга об исчислении ал-Джабра”. “Ал-Джабра” в переводе означает перенос или восполнение. Автор учебника – выдающийся ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми. (Кстати, слово «алгоритм» произошло от латинской формы имени аль-Хорезми). Этот термин и стал названием науки. По этой книге долгое время обучалась вся Европа. Прошли столетия и в настоящее время алгебра оформилась как наука, предметом которой являются операции, записанные в символической форме. Над чем осуществлялись операции? Над математическими моделями. Такими моделями в современной алгебре являются группы, кольца, поля, векторные пространства и т. д.

Предметом нашего изучения в курсе “линейной алгебры” являются матрицы, линейные пространства, системы линейных уравнений и др. Кроме того, мы в рамках “линейной алгебры” будем изучать геометрические объекты: вектора, уравнения линий и кривых на плоскости и в пространстве, поверхности 2^-го порядка. Сам термин “линейная” означает, что над объектами изучения вводятся, т.е. определены три операции: сложение и умножение в пространстве объектов и умножение объектов на скаляр. Для определения линии в пространстве достаточно этих операций. От линии и происходит термин “линейная”.

Для чего нужен этот курс математики? Применительно к будущей специальности инженер-механик мы приведём только один пример. При создании современных машин, приборов и т.п. приходится проводить расчёты на прочность конструкций. Существует мощный современный метод - метод конечных элементов - позволяющий решать задачу расчёта на прочность сложных конструкций.

Математически этот метод сводится к решению большой системы уравнений с большим числом неизвестных. При составлении и решении этих систем уравнений интенсивно используется аппарат линейной алгебры как фундамент или основа для более сложных математических преобразований.

Одним из объектов, изучаемых в курсе линейной алгебры являются матрицы. Тема первой лекции так и называется:

Матрицы. Линейные операции над ними.

Умножение матриц

Прежде чем начать изучение матриц, вспомним, что такое определитель. Рассмотрим простую задачу:

Решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

выразим неизвестную x₂ из первого у-я (*)

Её решение, как известно, выглядит:

(**)

Запишем систему трёх уравнений:

***)

Запишем первые два уравнения так:

и решим по формулам (**):

Подставим в третье уравнение и решим его:

Аналогично можно записать решение для х₁ и х₂, которые мы здесь опустим.

Числитель можно получить из знаменателя простой заменой членов на! Т.е. при решении системы трёх уравнений всё определяется знаменателем. Запишем алгебраические члены, входящие в выражение в знаменателе как таблицу

Эту таблицу назовём матрицей системы уравнений (***), а выражение в знаменателе - определителем этой матрицы. Для числителя аналогичная таблица чисел выглядит

Обозначив определитель матрицы системы уравнений через , а числитель через _i, получим для разыскиваемых х_i простую формулу, называемую правилом Крамера

X_i = _i / 

Оказывается, эта формула верна для системы уравнений любого порядка.

Таким образом, для решения системы уравнений достаточно найти определитель матрицы этой системы и сделать некоторые преобразования с определителем.

Абстрагируемся от систем уравнений и назовём матрицей вообще некоторую прямоугольную таблицу чисел. Причём число строк и столбцов может быть и неодинаковым! Запишем в общем виде:

Употребляют и сокращённую запись:

где i=1,... n; j,... m

или вообще просто: A (будем употреблять мы).

Числа n и m назовем порядками матрицы n  m (n строк на m столбцов). Например матрица 2  2; 2  3 и т.п.

В случае квадратной матрицы вводится понятие главной диагонали. Это элементы а_ii

Частные случаи: Матрица - столбец

Матрица - строка

Транспонирование матрицы - это операция перестановки строк и столбцов. Обозначается операция : Т

Очевидно, что транспонированная матрица-строка - это матрица-столбец и наоборот. Особую роль играют матрицы, которые при транспонировании не изменяются. Такие матрицы называются симметрическими. Бывают ленточные матрицы с шириной диагонали - k членов. Для симметрических матриц можно говорить о полуширине диагонали.

Операции над матрицами

Матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.

а). Сложение матриц. Суммой двух матриц иодних и тех же порядков называют матрицу, элементы которой есть

Будем писать: С=А+В

Непосредственно из определения вытекает :

переместительное свойство А+В=В+А

и сочетательное свойство (А+В)+С=А+(В+С)

б). Умножение матрицы на число : матрица умножается на число, получается матрица- (каждый член умножается на). Отсюда непосредственно следует:

сочетательный закон:

распределительный закон относительно суммы чисел:

в). Перемножение матриц: произведением двух матриц иназывают матрицу, гдеопределяется из формулы:

т.е. не всякие матрицы можно перемножить а только те, где число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Частный случай - умножение матрицы-строки на матрицу-столбец определено, если количество членов в строке (n) равно количеству членов в столбце (n). Результатом такого умножения является число

n

x В n = С₁₁

А

Определено всегда умножение столбца на строку:

n

m x = m

n

Произведение двух матриц не обладает перестановочным свойством, т.е. . К примеру:

Введём важное понятие диагональной матрицы

и её частный случай - единичную матрицу:

Легко увидеть, что для любой квадратной матрицы А справедливо :

Познакомившись с умножением матриц, можно нашу систему уравнений ***) записать компактно в матричном виде. Введём обозначения. Матрицу системы уравнений, представляющую таблицу из коэффициентов при неизвестных, обозначим А:

.

Для неизвестных введём обозначения матрицы-столбца Х

и для правых частей - .

Тогда можно записать:

или

Определители

Мы уже ввели понятие определителя для матрицы 3^-го порядка. Перейдём теперь к понятию определителя порядка n, где .

Введём понятие минора. Минором любого элемента матрицы n^-ого порядка называется определитель порядка n-1, соответствующий матрице, полученной из родительской матрицы вычёркиванием i^-той строки и j^-того столбца. Обозначим минор символом (Лучше обозначить просто М_ij)

К примеру у матрицы четвёртого порядка можно выделить 16 миноров:

Запишем теорему без доказательства:

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,...n); для определителя n^-ого порядка справедлива формула:

Эта формула называется разложением определителя по i^-той строке.

Подчеркнём, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится (-1) равен сумме номеров строки i и столбца j, т.е. сумма может быть чётной и нечётной. Соответственно слагаемые в этой сумме могут входить в неё как со знаком (+) так и со знаком (-). Пример : (разложим по 2^-й строке)

Кстати, проще разложить по третьей строке:

К этому же результату можно прийти, воспользовавшись формулой ****) - знаменатель при вычислении х₃, иначе называемой формулой “треугольника”:

Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами, т. е. транспонировать матрицу. Доказать можно, расписав определители:

2. Перестановка двух строк или двух столбцов определителя равносильна его умножению на (-1). Для доказательства достаточно расписать определитель:

.

3. Если определитель имеет две равные строки или два равных столбца, то он равен 0. Это очень важное свойство. В самом деле, перестановка строк даёт: .

4. Умножение всех элементов некоторой строки на число равносильно умножению определителя на это число. Иными словами, общий множитель из некоторой строки можно выносить за знак определителя:

5. Отсюда вытекает, что если все элементы некоторой строки =0, то и сам определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк пропорциональны, то определитель равен 0.

7. Проще написать на доске:

8. Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженной на некоторый коэффициент , то величинане изменится!

9. Непосредственно из выражения определителя следует, что величина определителя равна сумме произведений элемента на алгебраическое дополнение этого элемента.

Обратным образом: сумма произведений элементов какого-либо столбца на алгебраические дополнения другого столбца равна нулю.

Если ввести обозначение и назватьА_ij алгебраическим дополнением элемента а_ij , то последнее свойство (9) можно записать

,

где - символ Кронекера:

Лекция 2.