Уравнение линии на плоскости

Прямая на плоскости

Предположим, что на некоторой плоскости  нам заданы 1) декартовая прямоугольная система координат 0ху; 2) некоторая линия L. Если указано правило, по которому каждой точке М плоскости (или какой-либо части плоскости) сопоставляется некоторое число z, то говорят, что на плоскости (или ее части) задана функция двух переменных: z = f(x,y).

Рассмотрим некоторое уравнение:

Ф(x,y)=0 (*)

Определение: уравнение (*) называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х,у любой точки, лежащей на L, и не удовлетворяет координаты х,у ни одной точки, не лежащей на L. Саму линию L называют геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (*).

Параметрическое представление линии

Часто для аналитического представления линии удобно выражать координаты х,у через некоторый параметр t.

x=(t); y=(t)

К примеру, параметром t может быть время в задаче движения тела по траектории. Так, движение точки по окружности можно описать параметрами:

x = r cos t

y = r sin t

Исключим t: x² + y² = r² (sint² t + cos² t)=r²

Вид уравнения линии L зависит не только от вида самой линии, но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется при переходе от одной декартовой системы координат к другой, либо при переходе от декартовой системы координат к другой системе.

Полярная система координат

В математике часто применяется эта система. Определяется эта система заданием: некоторой точки 0, называемойполюсом, луча 0А, исходящего из этой точки, называемого полярной осью и масштаба на этой оси.

Полярными координатами точки М называются два числа:  = ОМ – расстояние от точки М до полюса и  - полярный угол. Угол, отсчитываемый против часовой стрелки, считается положительным. Он определен с точностью до оборота: 2n. Точку М с полярными координатами  и  обозначают символом М(,). Для полюса  = 0, а полярный угол не определен. Для того, чтобы между точками плоскости, отличными от полюса и парами чисел (,) существовало взаимно однозначное соответствие, считают, что полярные координаты изменяются в следующих границах:

Полярные координаты легко преобразовать в декартовые, если направить ось Х вдоль полярной оси и совместить полюс с началом координат. Очевидно:

По этим формулам легко переходят от полярных координат к декартовым и наоборот. Так, уравнение окружности радиуса R в полярных координатах есть =R. Пусть, например, линия в полярной системе координат имеет уравнение%

Это парабола

Определение: линия называется алгебраической, если функция Ф(х,у) представляет собой алгебраический полином, т.е сумму конечного числа слагаемых вида

a_lk x^l y^k

Можно доказать, что если на плоскости задана произвольная прямая линия, и задана декартова система координат Оху, то прямая L определяется в этой системе координат уравнением первой степени. Иначе Ф(х,у)=Ах+Ву+С полином первой степени. Само доказательство мы опустим.

Докажем теперь, что если на плоскости  фиксирована произвольная система координат Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х,у определяет прямую относительно этой системы.

В самом деле, пусть задано уравнение

Ax + By + C = 0 (**)

где из А, В, С хотя бы одно не ноль.

Уравнение (**) заведомо имеет хотя бы одно решение х₀ у₀ (вспомним теорему Кронеккера-Капелли) или:

Ax₀ + By₀ + C=0 (***)

Вычитая из (**) уравнение (***), получим уравнение

A (x - x₀) + B (y - y₀)=0

Докажем, что это уравнение определяет прямую L, проходящую через точку х₀,у₀ и перпендикулярную вектору .

В самом деле, если точка М( х,у ) лежит на L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (***), ибо в этом случае векторы и ММ₀ = ортогональны и их скалярное произведение

А(х - х₀) + В(у - у₀)

равно нулю. Если же точка М( х,у ) не лежит на указанной прямой, то векторы и ММ₀ не ортогональны и их скалярное произведение не равно нулю.

Уравнение

Ax + By + C = 0

называется общим уравнением прямой. Вектор

называется нормальным вектором прямой (**).