Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lineynaya algebra i analitich_geom / Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

276.75 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

Кафедра высшей математики

ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебные задания и методические указания для студентов всех специальностей и форм обучения

Новосибирск 2008

Учебные задания и методические указания разработаны доцентом И.А. Бертиком, канд. физ.-мат. наук, доцентом Ю.М. Вахромеевым, ассистентом И.А. Веде,

канд. техн. наук, доцентом Е.Ю. Гошко, доцентом Н.М. Макейкиной, канд. физ.-мат. наук, доцентом А.М. Раменским

Утверждены методической комиссией ФПСВО 29 мая 2008 года

Рецензенты:

В.П. Ильин, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотр. ИВМ и МГ СО РАН;

В.Б. Кардаков, канд. физ.-мат. наук, профессор НГАСУ (Сибстрин)

Новосибирский государственный °c архитектурно-строительный

университет (Сибстрин), 2008

Содержание

1. Линейная алгебра

1.1.Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.Системы линейных алгебраических

уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Векторная алгебра	10
2.1. Линейные операции над векторами . . . . . . . .	10

2.2.Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . 11

2.3.Деление отрезков в данном отношении . . . . . . 14

2.4.Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . 15

2.5.Векторное произведение векторов . . . . . . . . . 18

2.6.Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . 20

3. Аналитическая геометрия

3.1.Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3. Прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . .	40
3.4. Плоскость и прямая в пространстве . . . . . . . .	48
4. Линейное пространство	51
4.1. Понятие линейного пространства,
n-мерные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . .	51

4.2.Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . 54

1. Линейная алгебра

1.1. Определители

1.1.1. Вычислить определители:

а)

2 4

; б)

1 4

¯ ; в)

−4

;

−1

−

−1 2

−

1¯

г)

; д)

−0

;

−1

−

е)

1 7

−1

ж)

−2 3

;

3 1

¯ ;

−1 2

−

3 6

−

1 4

−

¯4

з)

−

−1

¯ .

−2

−

−8

а) −2 ;

б)

−6 ;

¯в) −66 ;

г)

70 ;

д) 12 ;

е) 47 ;

Ответ:

ж) 45 ;

з) 301 .

1.1.2. Найти x из уравнений:

−3

; в)

1 0

¯ .

а)

5 10

; б) ¯

x x

3 8

x + 10

−1

−4 5

а) x

x =

−

R .

Ответ:

= 2 ; б)

, x = 2 ; в) x

1.2. Матрицы

1.2.1. Указать размерность и вид матрицы:									7 ;
а) A =		2	3 ; б) B =			5	1		7 ;
		1	5			3		2	1
	−0		9			0	−2		1
в) C =		1 2		0	; г) D = 0			1		0	;
		6	0	0			1	0		0
	−3 4			5		0		0		1

д) F = 4 2 −3

ж) H = b . c

;	е) G =	0	1	0	;
¢		5	0	0
¢		0	−0	3

Ответ: а) прямоугольная 3 × 2 ; б) квадратная третьего порядка; в) треугольная третьего порядка; г) единичная третьего порядка; д) матрица–строка; е) диагональная третьего порядка; ж) матрица–столбец.

1.2.2. Даны матрицы:				2		0			−3
A =		1	3	2	, B =	0	3		−3	,
		2	1	0		5	7		1
−4			0	3		1	−1		1
C =	5		−1	1	. Найти: 3A			2B + C .
	2		4	3
	3		−4	5			−

Ответ:	−2		−	4	1	.
		2		15	5
		13	−2		12

1.2.3. Найти произведения матриц:
а)	3		5	¶ µ			2 1 0						; б) −3 4										4 1 0					;
µ	6		1	¶ µ			3 2 7					¶						−		0		µ 5 4 3					¶
																			2	0	·
		−			·												−1			7	·
в)	3	2		1				3	; г)								3 4 1 5							−	2		.
в)								1	; г)								3 4 1 5							−	1		.
µ 0 1 2 ¶ ·								2							¡						¢ ·				0
																									1

			µ		21		13			35			¶ ;						8		−2		0
									−										31		27		21
Ответ: а)					9		4				7			¡		б)			−8		13		12	;
				в)		µ		5	¶ ;			г)		¡		0		¢ .
							13
1.2.4. Даны матрицы: A =										2			1			2	, B =						4	2		0		,
										1			2			1							4	1		1
C =	µ 4		−1				2	1 2 3												−1 2						1
C =	µ 4		−1				2	−1			¶ .
	2			1		−	3		3
						−		−				б) (2A − B) · B ; в) C · CT .
Найти: а) A · B − B · A;												б) (2A − B) · B ; в) C · CT .
Ответ: а)				−10			−4			−7					; б)				19		6		−1
					−7			5 −4												1 15				6
						9	14				4								−36		16		12		;

µ¶

в)	23	4	.
	4	22

1.2.5. Для следующих матриц найти обратные:

а)	1	2	; б)	6	3	4 ;
µ	3	4	¶	2	5	7
				2	5	7
				5	−2	−3

в)	2	1	2	.
	1	2	2
	2	−2	−1

−

−1

−

−27

−29

−24

Ответ: а)

−1

¶ ;

б)

;

в) 1	2	1	2	.
	1	2	2
			−1
9	2	−2	−1

1.2.6. Найти (3A			−	B + 3E)−1 , если E единичная матрица,
			−		−1		3		5 .
A =		3		1	−1	, B =	3	1	5 .
		2		0	1		2	0	1
	−1			2	1		0	1	−1

		45	20	20	.
Ответ:	1	36	−37	10

	135	−45	−35	−35

1.2.7. Решить матричные уравнения:
			1	1	1		=				1		1	3
а) X			2	1	−0		=				4 −3 2						;
	µ	·	1 −1		1						1 −2 5
б)		2	1			3				2	¶ = µ			2				4	¶	;
б)		3 2		¶ · X · µ −5			−			3	¶ = µ			−3		−		1	¶	;
							−									−
в) X · µ			5	2		1	4		¶		= µ		2		1	¶ .
в) X · µ			3 1 ¶ + µ			3 8			¶		= µ		6	−3		¶ .
Ответ: а) X =					3	2		0		; б)					µ
Ответ: а) X =					−4	5	−	2		; б)			X =					24			13	;
					−	3	−	0										34		−	18	¶
					−5	3		0					¶ .				−			−
							16					27
				в) X = µ −12							−	19
											−

1.2.8. Найти ранг матриц:									7 , C =
A = 0		0 , B = 0			8		−1		7 , C =			0	,
	2	0		1		3	2		4		µ	0	¶
	0	0	0		0		−0		0		−1 ¶
D =	µ 3	¶ , F =	µ 0 3		−1		¶ , G = µ 2				−1 ¶		,
	5		3	5		1				3	4
H =	−3 1		, K =			1	−	1	3 .
	µ	6 2 ¶				3	−	0	2
						3		0	2
		−				4	−1		5

Ответ: rang(A) = 1 , rang(B) = 2 , rang(C) = 0 , rang(D) = 1 , rang(F ) = 2 , rang(G) = 2 , rang(H) = 1 , rang(K) = 2 .

1.2.9. Вычислить при помощи элементарных преобразований ранг матриц:

A1 =			1		3	−2			, A2 =	3	−	1	2	−0	,
A1 =			2		1		4		, A2 =	2	−	1	3	1	,
										2		1	3	1
			−1		10		2			1		3	4	2
						−				4	−	3	1	−1
		2		1		−	−4				−
		2		1		3	−4
		1		3		5		1	.
A3	=	5	−1		−1			7	.
					−
		7		7		9		1

Ответ: rang(A1) = 2 , rang(A2) = 2 , rang(A3) = 3 .

1.3. Системы линейных алгебраических уравнений

1.3.1. Решить системы по формулам Крамера:
а)	2x −	7y = 3;	б)	2x + 3y	−	7z = 16,
½
	3x 5y = 1,			x − y − 4z = 6,
	−	−		5x + 2y +		z = 16;

в)

2x + y

z = 3,

г)

y + 3z = 2,

3x − y + 2z = −5,

3x + 2y − z = 6,

−

−x − 3y + 3z = −16;

2x − 3y + 4z = 0;

д)

3x 2y + z = 3,

3x + 2y

= 1,

−

−3x − 5y + 2z = 0.

Ответ:

а) (2; 13) ; б)

(3; 19; −1) ; в)

(1; 2; −3) ;

г) (1; 2; 1) ; д)

(1; −1; −2) .

1.3.2. Решить системы с помощью обратной матрицы:

а)

x − 3y = 11,

б)

−

3z = 12,

3x +

y = 3;

−

в) 2x −

2y − 4z = −14;

3y + z = 7,

г)

5x1

+ x2

+ 2x3

= 29,

3x 4y + 5z = 17,

+ 2x2

+ 4x3

= 31,

−

3x − 5y − z = 6;

3x1 − x2 + x3 = 10.

Ответ:

а)

(2; −3) ; б) (−25; −19; −6) ;

в) (1; −1; 2) ; г)

(3; 4; 5) .

1.3.3. Решить системы методом Гаусса:

а) 3x1

+ 4x2

2x3

= 11,

б) 2x1

+ 2x3

= 4,

2x1

− x2

− x3

= 4,

+ x2

+ 2x3

= −1,

−

3x1 − 2x2 + 4x3 = 11;

4x1 + x2 + 4x3 = −2;

15x1

− 7x2

3x3

= −70,

5x1

3x2

28,

в)

−

10x2

−

16x3

−

3x4 = 71,

x4 =

−3;

x3 +

2x1

+ x2

4x3

2x4

= 7,

− 2x2

+ x3

− x4

= 5,

г)

−

2x2 + 3x3 + x4 = 9,

3x1 + x2 − x3 + 3x4 = 0;

2x1

+ 3x2

+ 4x3

+ x4

= 12,

+ 2x2

+ 3x3

+ 4x4

= 11,

д)

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 13,

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 14;

− x2

− 3x4

2x1

= 2,

2x1

+ x3

= 1,

е)

3x1

−

+ x4

−

2x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = −6;

x1 + x2

−

3x3 = 1,

ж)

2x1 + x2

2x3

−1,

з)

2x 3y + z = 2,

−

= 3,

3x − 5y + 5z = 3,

x1 + x2 + x3

−

x1 + 2x2 − 3x3 = 1;

5x − 8y + 6z = 5;

3x1

2x2

+ 2x3

3x4

= 2,

2x1

+ x2

− x3

+ x4

= 1,

и)

−

= 1,

5x1 + x2

−

+ 2x4

−

2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 4;

−

+ x4

= 3,

2x2

+ 3x3

− 4x4

= 4,

к)

−

x1 + 3x2

−

3x4 = 1,

− 7x2 + 3x3 + x4 = −3.

Ответ: а) (3; 1; 1) ; б) (1; 2; −2) ; в) (−5; 1; −4; 1) ; г) (1; −1; 2; 0) ; д) (2; 1; 1; 1) ; е) (0; 2; 5/3; −4/3) ;

ж) несовместная; з) x = 10z + 1 , y = 7z ;

и) несовместная; к) x1 = −8 , x2 = 3 + x4 , x3 = 6 + 2x4 ;

1.3.4. Решить системы линейных однородных уравнений:

	2x1		x2 + 3x3 = 0,			б)		5x1 + x2 + 6x3 = 0,
а)	x1	+ 3x2 + 2x3 = 0,				б)		x1	x2 + x3 = 0,
		−
	3x1	−	5x2 + 4x3 = 0,					2x1	− 3x2 + 2x3 = 0.
		−						2x1	− 3x2 + 2x3 = 0.
	x1 + 17x2 + 4x3 = 0;								−

			11			1
Ответ:		а) x1 = −			x3 , x2	= −		x3 ; б) (0; 0; 0) .
Ответ:		а) x1 = −		7	x3 , x2	= −	7	x3 ; б) (0; 0; 0) .

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Lineynaya algebra i analitich_geom

#
06.06.20152.14 Mб12Arefev_k_p_nagornova_a_i_i_dr_vysshaya_matematika_chast_1_li.pdf
#
06.06.2015276.75 Кб29Bertik_i_a_i_dr_zadachi_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_2006.pdf
#
06.06.20153.07 Mб207Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.doc
#
06.06.2015990.17 Кб13Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge.pdf
#
06.06.20151.01 Mб16Kuznecova_s_n_lukin_m_v_lineynaya_algebra_i_analiticheskaya.pdf
#
06.06.20154.73 Mб55Nikolaeva_n_i_lineynaya_algebra_vektornaya_algebra_analitich.doc
#
06.06.20158.52 Mб22Resheniya_zadach_po_kuznecovu_lineynaya_algebra_izdanie_2011.pdf