Скалярное произведение двух векторов

Определение 1.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Будем обозначать символами

Вспомним определение проекции вектора на ось:

проекцияили проекция

Т.е. другое определение скалярного произведения:

Понятие скалярного произведения родилось в механике. Оно означает работу силы, равной вектору a на перемещении, равном вектору b.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 90^о.

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Необходимость: пусть иортогональны. Т.е..

Достаточность: пусть . Если, то остаётсят.е..

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1). переместительное свойство.

2). сочетательное относительно числового множителя.

3). распределительное относительно суммы векторов.

4). еслии, если.

Докажем, допустим, свойство 2: .

Эти четыре свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнить действия почленно, не заботясь о порядке и сочетая числовые множители. Используем эти свойства практически. Найдём выражение скалярного произведения в декартовых координатах.

Если два вектора , то их скалярное произведение есть

.

Для доказательства составим скалярные произведения:

и запишем: .

Следствие 1. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов является равенство .

Следствие 2. Угол между двумя векторами есть:

.

Векторное и смешанное произведения векторов

Прежде всего назовём три вектора упорядоченной тройкой, если указано, какой вектор называется первый, второй и третий. Так, запись означает, что

- правая тройка

Определим правую систему координат по правилу правой руки или по правилу буравчика.

Определение: аффинная система координат называется правой, если три базисных вектора образуют правую систему координат.

Определение векторного произведения: векторным произведением вектора на векторназывается вектор, обозначаемыйи удовлетворяющий требованиям:

1. длина вектора равна:;

2. вектор ортогонален каждому изи;

3. направлен так, что -правая тройка.

Понятие векторного произведения родилось тоже в механике.

-момент М силы относительно точки О.

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Необходимость вытекает из самого определения векторного произведения.

Достаточность. Пусть . Тогдаи, и остаётся, т.е. коллинеарность

Теорема. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах . Эта теорема непосредственно вытекает из формулы.

Смешанное произведение трёх векторов

Если векторвекторно умножается на вектор, затем получившийся векторскалярно умножается на вектор, то в результате получается число, называемое смешанным произведением векторов.

Теорема. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторахи взятому со знаком плюс, если тройка- правая, и минус если тройка левая. Докажем для правой тройки:

Следствие 1: Справедливо равенство: . Доказанное равенство позволяет записывать смешанное произведение, не указывая при этом, какое произведение векторное, какое скалярное. Обозначается смешанное произведение.

Следствие 2: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 3: Смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают, равно нулю. В самом деле, такие векторы колмпланарны заведомо.

Алгебраические свойства векторного произведения

1. - антиперестановочность сомножителей.

2. - сочетательное относительно числового множителя.

3. - распределительное относительно суммы векторов.

4. для любого .

Для доказательства свойства 1 (ограничимся доказательством только первого свойства) вспомним о правой и левой тройках векторов. Если считать, что образуют правую тройку, тоочевидно левая тройка. Значит по определению векторного произведения, векторыколлинеарны, одинаковой длины и противоположно направлены, т.е., что и доказывает первое свойство.

Эти четыре свойства позволяют оперировать при векторном перемножении сомножителями почленно, производить сочетание множителей, не меняя при этом порядок векторного умножения.

Выражение векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора имеют координаты , то их векторное произведение можно найти, опираясь на свойства векторного произведения:

В итоге (*)

или - разложение определителя по первой строке.

Следствие. Если два вектора коллинеарны, то координаты их пропорциональны. Действительно, векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Но из равенства (*) следует (поскольку):.

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах

Смешанное произведение трёх векторов равняется определителю, строки которого составлены из координат соответствующих векторов.

Действительно, координаты определяются выражением:

а координаты скалярного произведения, вспомним, есть , или, в нашем случае,:

А это разложение определителя по третьей строке.

Следствие: необходимым и достаточным условием коллинеарности трёх векторов с координатами является равенство нулю определителя .

Лекция 6.

Аналитическая геометрия