Вопросы к экзамену.

1. Векторы и действия над ними. Свойства операций над векторами. Векторная запись системы линейных уравнений.

Упорядоченный набор n действительных чисел будем называть n- мерным вектором, его элементы (i = 1, 2, …, n) назовем компонентом вектора, n – размерность вектора

Операции над векторами:

Равенство В.

Будем говорить, что 2 вектора равны между собой, если они имеют одинаковую размерностьn и их соответствующие компоненты равны, т.е

Умножение вектора на число.

Произведение вектора на число - это вектор .

Сумма векторов.

Суммой векторов , имеющих одинаковую размерность, является вектор:

Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение 2-х векторов , имеющих одинаковую размерность, определяется как сумма произведений соответствующих компонент. Обозначается : ()

Свойства операций над векторами:

1. 

2. 

3. –действительное число.

4. (– действительные числа.

5. (

6. вектор, все компоненты к-го раны нулю.

7. 

8. =

9. () = ()

10. () =) = ()

Назовем любое мн-во векторов системой векторов, если они имеют одинаковую размерность, обозначать будем:

Будем говорить, что вектор является линейной комбинацией векторов, если. Здесьсистема векторов одинаковой размерности, а коэф-ты– действительные числа. Или будем говорить, что векторлинейно выражается ч-з вектора. Наборназывается тривиальным, если все они раны нулю, т.е.что в данном случае линейная комбинация любых векторовобращается в нуль.

Векторная запись систем линейных уравнений.

Введем обозначения: – это вектора-столбцы, причем:

Как можно интерпретировать запись: (*)?

Запись (*) соответствует системе уравнений, в к-ой n ур-й и n неизвестных.

2. Линейная комбинация векторов. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Утверждения, связанные с линейной зависимостью (независимостью) векторов.

Будем говорить, что вектор является линейной комбинацией векторов, если.(*) Здесьсистема векторов одинаковой размерности, а коэф-ты– действительные числа. Или будем говорить, что векторлинейно выражается ч-з вектора.3. Утверждения, связанные с линейной зависимостью (независимостью) векторов.

• Одинаковой размерности

• Тривиальны

Система векторов называется линейно независимой, если равенство (*) = 0 выполняется, только при тривиальном наборе коэф-в. )

Система векторов линейно зависимой в противном случае, т.е если рав-во (*)=0 выполняется, когда хотя бы 1 из коэф-в (i =1, 2…k) отличен от нуля.

Утверждения, связанные с линейной зависимостью (независимостью) векторов.

1. Если в системе векторов есть нулевой вектор, то она линейно зависима.

2. Если векторы а₁,а₂,а₃,...,а_к линейно независимы, а векторы а₁,а₂,а₃,...,а_к,b линейно зависимы, то вектор b линейно выражается через векторы а₁,а₂,а_3у...,а_к.

3. Пусть в системе <>(1**)

……………………………………..

, ≠0.Тогда данная система векторов линейно независима.

4. Если система векторов <линейно зависима, то некоторый вектор этой системы линейно выражается через другие.

5. Если к системе линейно зависимых векторов <>добавить произвольный вектор Ь, то система останется линейно зависимой.

6. Удаление одного вектора из системы линейно независимых векторов оставляет систему линейно независимой.

7. Прибавление к одному вектору линейно независимой системы другого вектора этой системы, умноженного на какое-либо действительное число, оставляет систему линейно независимой.

8. Умножение одного из векторов линейно независимой системы на число, отличное от нуля, оставляет систему линейно независимой.

9. Прибавление к одному вектору линейно зависимой системы другого вектора этой системы, умноженного на какое-либо действительное число, оставляет систему линейно зависимой.

10. Умножение одного из векторов линейно зависимой системы на число, отличное от нуля, оставляет систему линейно зависимой

Замечание. Последние четыре утверждения можно обобщенно сформулировать так:

Гауссовские преобразования не изменяют линейной зависимости или независимости системы векторов.