Lineynaya algebra i analitich_geom / Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge

Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии

Рекомендуемая литература:

1.Владимир Александрович Ильин, Эдуард Генрихович Позняк Линейная алгебра, любое издание.

2.В.А.Ильин, Э.Г.Позняк

Аналитическая геометрия, любое издание. 3. Э.Л.Блох, Л.И.Лошинский, В.Я.Турин

Основы линейной алгебры и некоторые её приложения.

4.Павел Сергеевич Александров Лекции по аналитической геометрии

5.Александр Николаевич Рублев.

Курс линейной алгебры и аналитической геометрии.

6. Евгений Викторович Шикин, Алексей Викторович Боресков. Компьютерная графика. АО «ДИАЛОГ-МИФИ», 1995.

6. Давид Викторович Клетеник Сборник задач по аналитической геометрии.

Лекция 1.

Что такое алгебра ? Исторически алгебра сложилась как наука о решении уравнений. Ещё в древнем Вавилоне 4000 лет назад люди уже умели решать квадратные уравнения. Это умение возникло из практической необходимости решать задачи земледелия, строительства, военного искусства. К примеру, на одной из глиняных табличек, относящихся к тому времени учёные историки расшифровали задачу:

Площадь двух квадратов равна 1000. Сторона одного квадрата составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов ?

Эта задача приводит к системе уравнений:

x2 y2 1000

которая сводится к квадратному уравнению:

x2 4 x2 40 x 100 1000; 9 3

13 x2 40 x 900 0 9 3

Отсюда x=30, а y=10.

Разумеется, система записи математических соотношений была иной.

Само название “алгебра” восходит к арабским учёным. В 825 году был написан учебник “Краткая книга об исчислении ал-Джабра”. “Ал-Джабра” в переводе означает перенос или восполнение. Автор учебника – выдающийся ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми. (Кстати, слово «алгоритм» произошло от латинской формы имени аль-Хорезми). Этот термин и стал названием науки. По этой книге долгое время обучалась вся Европа. Прошли столетия и в настоящее время алгебра оформилась как наука, предметом которой являются операции, записанные в символической форме. Над чем осуществлялись операции? Над математическими

и решим по формулам (**):

x1 b1 a13 x3 a22 a12 b2 a23 x3 a11a22 a12a21

x2 b2 a23 x3 a11 a21 b1 a13x3 a11a22 a12a21

Подставим в третье уравнение и решим его:

Аналогично можно записать решение для х1 и х2, которые мы здесь опустим.

Числитель можно получить из знаменателя простой заменой членов ai3 на bi ! Т.е. при решении системы трёх уравнений всё определяется знаменателем. Запишем алгебраические члены, входящие в выражение в знаменателе как таблицу

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

Эту таблицу назовём матрицей системы уравнений (***), а выражение в знаменателе - определителем этой матрицы. Для числителя аналогичная таблица чисел выглядит

a11a12b1

a21a22b2

a31a32b3

Обозначив определитель матрицы системы уравнений через , а числитель через i, получим для разыскиваемых хi простую формулу, называемую правилом Крамера

Xi = i /

Оказывается, эта формула верна для системы уравнений любого порядка.

Таким образом, для решения системы уравнений достаточно найти определитель матрицы этой системы и сделать некоторые преобразования с определителем.

Абстрагируемся от систем уравнений и назовём матрицей вообще некоторую прямоугольную таблицу чисел. Причём число строк и столбцов может быть и неодинаковым! Запишем в общем виде:

a11a12 ...a1m a21a22...a2m

..............

an1an2...anm

Употребляют и сокращённую запись:

aij где i=1,... n; j,... m

или вообще просто: A (будем употреблять мы).

Числа n и m назовем порядками матрицы n m (n строк на m столбцов). Например матрица 2 2; 2 3 и т.п.

A a11a12a13 .

...........

Для неизвестных введём обозначения матрицы-столбца Х

x1

Xx2

x3

и для правых частей - В .

Тогда можно записать:

или

Определители

Мы уже ввели понятие определителя для матрицы 3-го порядка. Перейдём теперь к понятию определителя порядка n, где n 2.

Введём понятие минора. Минором любого элемента аij матрицы n-ого порядка называется определитель порядка n-1, соответствующий матрице, полученной из родительской матрицы вычёркиванием i-той строки и j-того столбца. Обозначим минор символом M ij (Лучше обозначить просто Мij)

a11a12...a1j...a1n a21a22...a2 j...a2n

...................

aj1aj2...aij...ain

...................

an1an2...anj...ann

К примеру у матрицы четвёртого порядка можно выделить 16 миноров:

1 2 4 6

5 3 1

7 5 3 1 1

M 1 1 1 3

8 1 1 3

2 0 4

7 2 0 4

Запишем теорему без доказательства:

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,...n); для определителя n-ого порядка справедлива формула:

n

i j i

det A = 1 aij M j

j 1

Эта формула называется разложением определителя по i-той строке.

Подчеркнём, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится (-1) равен сумме номеров строки i и столбца j, т.е. сумма может быть чётной и нечётной. Соответственно слагаемые в этой сумме могут входить в неё как со знаком (+) так и со знаком (-). Пример : (разложим по 2-й строке)

3(4) 8 8 12 12

Кстати, проще разложить по третьей строке:

К этому же результату можно прийти, воспользовавшись формулой ****) - знаменатель при вычислении х3, иначе называемой формулой “треугольника”:

det 3 1( 2) ( 2) 3 2 2 0 1 2 1 1 ( 2)( 2)( 2) (3 0 3) 6 12 2 8 12

Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами, т. е. транспонировать матрицу. Доказать можно, расписав определители:

2. Перестановка двух строк или двух столбцов определителя равносильна его умножению на (-1). Для доказательства достаточно расписать определитель:

3.Если определитель имеет две равные строки или два равных столбца, то он равен 0. Это очень важное свойство. В самом деле, перестановка строк даёт: ;2 0; 0.

4.Умножение всех элементов некоторой строки на число равносильно умножению определителя на это число . Иными словами, общий множитель из некоторой строки можно выносить за знак определителя:

Решение систем линейных уравнений

квадратную матрицу. Если число уравнений n, то матрица А - квадратная n-ного порядка. Если матрица А невырожденная, det A 0, то покажем, что система имеет единственное решение. Т.к.

А не вырождена, то существует обратная матрица А-1. Умножим обе части (*) на А-1:

А-1АХ=А-1В но А-1А=Е, а ЕХ=Х.

Следовательно, решение единственное и выглядит:

Х=А-1В

Определение. Строки А=(а1,...,аn), В=(b1,...,bn),...С=(с1,с2,...,сn) называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , ,... , не все равные нулю, что справедливы равенства :

aj bj cj 0 j 1,...,n (**)

и соответственно строки называются линейно независимыми, если эти равенства возможны, когда все числа , , равны нулю.

Теорема. Для того, чтобы строки А,В,С были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных строк.

Необходимость. Пусть строки линейно зависимы, т.е. выполняется равенство (**), где хотя бы одно число не равно нулю. Для определённости положим, что 0. Тогда можно записать: