Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

Линейная алгебра.

Векторная алгебра.

Аналитическая геометрия

Методические указания

по изучению курса высшей математики

для заочников

2 изд., испр.

Омск – 2001

Составители:

Е.А. Воробьева, ст. преподаватель кафедры высшей математики;

Е.В. Воробьева ст. преподаватель кафедры высшей математики, к.ф.м.н.

Методические указания предназначены для студентов-заочников и преследуют цель помочь им в освоении как теоретического курса высшей математики, так и в приобретении навыка самостоятельного решения задач.

Поэтому весь курс разбит в соответствии с рабочей программой на четыре части по числу семестров. Каждая часть содержит подробный перечень тем данного семестра; содержание каждой темы представлено в виде плана-схемы, где в определенных блоках перечислены все вопросы в порядке их изучения и с помощью стрелок указаны взаимные связи между ними. Предлагаемый способ изложения дает возможность ( в силу своей наглядности) достаточно сложный и широко разбросанный по разным учебникам материал представить в виде стройной системы необходимых знаний. Четко обнаружить связь между основными понятиями, определениями, формулами и правилами.

С

ледуя по предложенной схеме, студент-заочник , лишенный возможности постоянного общения с преподавателем, может самостоятельно, используя лекции установочного цикла и необходимую литературу (список которой прилагается), изучить теоретический материал, а с помощью достаточно большого набора решенных задач по каждой теме научиться успешно решать задачи как в домашних контрольных работах, так и на экзамене. Решенные с подробными объяснениями задачи максимально приближены к соответствующей теме, номер в у формулы или правила адресует показывающий раздел теории, который используется в решении данной задачи. Преподаватели будут признательны всем студентам и преподавателям, которые внесут свои замечания, пожелания и предложения, возникшие в процессе работы с методическими указаниями.

Содержание

Содержание 3

Тема 1 4

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 4

1. 1. Матрицы и определители 4

1.2. Система линейных уравнений 5

Задачи по теме «Линейная алгебра» 5

Тема 2 12

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 12

13

Задачи по теме «Векторная алгебра» 13

Тема 3 17

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17

3.1 Прямая на плоскости 17

Задачи по теме «Прямая на плоскости» 17

3.2 Кривые второго порядка 20

Задачи по теме «Кривые второго порядка» 21

3.3 Кривые в полярной системе координат 24

3.4 Параметрический способ задания кривых на плоскости 25

3.5 Плоскость в пространстве 27

Задачи по теме «Плоскость в пространстве» 28

3.6 Прямая в пространстве 30

Задачи по теме «Прямая и плоскость в пространстве» 32

3.7 Криволинейные поверхности 35

1о Цилиндрические поверхности 35

2о Поверхности вращения 36

36

3о Криволинейные поверхности второго порядка 36

4о Метод параллельных сечений 37

Список литературы 38

ТЕМА 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1. 1. Матрицы и определители

1.2. Система линейных уравнений

Задачи по теме «Линейная алгебра»

Задача 1. Вычислить определительIII-го порядка:

а) по правилу треугольников ,

б) по теореме разложения , используя свойства определителей .

Решение.

а)

б) прибавим вторую строку сначала к первой, а затем к третьей строкам. Полученный определитель разложим по элементам второго столбца , , :

Ответ:

Задача 2. Используя свойства определителей и теорему разложения , вычислить определительIVпорядка:

Решение.

Ответ:

Задача 3. Даны матрицы А и В. Найти матрицугде

Решение. Найдем слагаемые матрицы С, потом подставим их в правую часть равенства.

5

6

4

4

Ответ:

Задача 4. Решить данную систему линейных уравнений:

а

30

) по формулам Крамера ;

б

31

) матричным методом ;

в

32

) методом Гаусса .

Решение.

а) Формулы Крамера:

30

.

Так как т.е. определитель системы отличен от нуля, система имеет единственное решение. Остается найти, подставив найденныеив любое из уравнений системы, например в первое:

Проверка: подставим найденные значения,,в каждое уравнение системы:

Ответ:,,.

б) Матричный метод:

Введем обозначения

- матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, матрица системы;

- матрица из неизвестных системы;

- матрица из свободных членов системы.

С помощью этих матриц данную систему уравнений можно записать так:

.

Р

31

ешив это уравнение относительно матрицы(матрицы неизвестных) ,

,

найдем решение системы.

Составим матрицу , обратную по отношению к матрице, т.е.:

7

:

1

14

.(см решения этой системы по формулам Крамера).

2. Составим матрицу (присоединенную), элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы :

, где,

а именно - произвольный элемент новой матрицы;- алгебраическое дополнение элементаматрицы;- минор этого элемента.

3

6

. Транспонируем полученную матрицу , имеем .

4. Запишем .

Остается найти матрицу :

,

т.е., отсюда по получимОтвет:

в) Метод Гаусса(метод последовательного исключения неизвестных) .

Выполняя элементарные преобразования над строками данной матрицы, стараемся придать ей «форму трапеции», т.е. обращаем в нули элементы, расположенные под главной диагональю матрицы, исключая неизвестные:

+

~~

Полученная матрица равносильна исходной. Восстановим систему уравнений, соответствующую последней матрице (выполним «обратный ход»):

Ответ: ,,.

З

22

амечание 1. Если ранг матрицы системы и ранг ее расширенной матрицы равны, т.е., то система совместна .

В нашем примере .

Е

26

32

сли, кроме того,, где- число неизвестных, то система имеет единственное решение. В нашем примере.

З

33

34

адача 5.Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса: , , .

а)

Решение.

~~.

Делаем «обратный ход»:

П

23

оследнее уравнение не имеет решений.

Ответ:система противоречива, т.е. не имеет решений .

З

23

амечание 2. Проанализировав последнюю матрицу, можно заметить, что, а, т.е.решений у системы нет .

б)

Решение.

~~.

Система уравнений, соответствующая этой матрице, имеет вид

Т

27

ак как число уравнений меньше числа неизвестных, то система неопределенная, т.е. имеет бесконечно много решений . Допустим- любое действительное число, тогда

илиа

Проверка:Допустим, тогда,, подставим эти значения неизвестных в систему:

Ответ:или.

З

27

амечание 3.В нашем примере легко увидеть по матрице, полученной в результате элементарных преобразований, что, но число неизвестных. Число свободных переменных(у нас это). Так как- любое действительное число, у системы уравнений бесконечно много решений, определяемых по формулам, приведенным в ответе.

в)

Решение.

~~.

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице, отбросив «лишнюю» строку:

Т

29

ак как число уравнений меньше числа неизвестных, то система неопределенная, т.е. имеет бесконечно много решений .

Пусть - любое действительное число – свободная переменная, выразим через нееи:

.

Проверка:положим, тогда,.

О

25

твет:или.

З

29

амечание.Однородная система уравнений всегда совместна . В примере, а- число неизвестных; значит, система неопределенная,- число свободных переменных . У нас в примере это.

г)

Решение.

~

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице, т.е. выполним «обратный ход»:

О

25

твет:.

З

28

амечание.Так как однородная система линейных уравнений всегда совместна , а из последней матрицы, полученной из матрицы систем путем элементарных преобразований, видно, что, т.е., то данная однородная система имеет единственное решение, т.е. нулевое решение.

ТЕМА 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Задачи по теме «Векторная алгебра»

Задача 1. Даны векторыи. Найти вектор.

Р

3

5

ешение.Так как вектор- линейная комбинация векторови, используем теорему о свойстве линейных операций над векторами , т.е. сведем данные в задаче линейные операции над векторами к таким же операциям над их координатами:

;

;

.

Ответ:.

Задача 2. Даны векторы,,. Выяснить, можно ли принять векторыиза базисные, и если можно, то выразить векторчерез них. Найти координаты вектораотносительно базисаи.

Решение.

а

4

5

) Вначале проверим коллинеарность векторови, составив и сравнив отношения их одноименных координат. Из этого неравенства следует, что векторыинеколлинеарны, значит, линейно независимы, т.е. могут быть приняты за базис .

б

4

5

) В базисеивыразим вектор, как их линейную комбинацию:, гдеи- неизвестные пока коэффициенты . Используя теорему о свойстве линейных операций над векторами , перейдем в полученном равенстве к координатам:

Решив эту систему, получим ,, подставим их в линейную комбинацию:- это разложение векторав базисеи, а коэффициенты справа – координаты векторав базисеи.

Ответ:, или.

Задача 3. Доказать, что точки,,ислужат вершинами трапеции. Выяснить, которое из оснований трапеции длиннее другого, во сколько раз.

Р

5

5

ешение.Найдем координаты векторов, последовательно соединяющих данные точки .,;,. Легко увидеть, что векторыиудовлетворяют условию коллинеарности :,. Следовательно,, значит,, т.е., а. Проверим коллинеарность векторови:. Значит четырехугольник- трапеция.

Задача 4. Найти орт и направляющие конусы вектора, если,.

Р

5

7

7

6

ешение.Найдем координаты вектора:. Его длина по формуле:. Так как орт вектора определяют по формуле,, по

.

Ответ: ;.

Задача 5. На материальную точку действуют силы;;. Найти работу равнодействующей этих силпри перемещении точки из положенияв положение.

Р

6

5

7

ешение.Работа силына путивычисляется по формуле :(механический смысл скалярного произведения). Найдем вектор, т.е., а вектор пути. По формуле скалярного произведения векторов в ДСКполучим.

Ответ:.

Задача 6. Даны векторыи. Найти проекцию векторана направление вектора.

Р

6

5

7

ешение.Чтобы воспользоваться формулой проекции вектора на вектор :, найдем координаты вектора, длину вектораи скалярное произведение

7

. Теперь подставим в формулу найденные значения.

Ответ:.

Задача 7. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторахи.

Решение.Найдем, например, косинус угла, который образует векторыи, координаты которых находим по формулам и :;.

Далее используем формулу :

, где

;

,.

Замечание:т.к.оказался положительным, то- острый угол; косинус угла, смежного с углом, отличается отзнаком.

Задача 8. Даны вершины четырехугольника,,и. Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Р

6

5

7

ешение.Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю . Найдем векторы, совпадающие с диагоналями четырехугольника :,. Вычислим скалярное произведение этих векторов :. Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны

7

.

Задача 9. Векторыиобразуют угол. Зная, что,, найти длину вектора.

Р

6

ешение.Используем формулу :

,

т.к. ,,.

Ответ:.

Задача 10. Найти площадь треугольника с вершинами в точках,,.

Решение.Рассмотрим векторыи, совпадающие со сторонами данного треугольника :и. Используя геометрический смысл векторного произведения двух векторов :, вычислим сначала векторное произведение :- это вектор. Теперь найдем его модуль :.

.

Ответ:кв.ед.

Задача 11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторахи, где,, а угол между векторамииравен.

Решение.По формулам :

кв. ед.

В решении задачи использован распределительный закон, которому подчиняется векторное произведение векторов и свойства векторного произведения: и, а также формула.

Ответ:кв. ед.

Задача 12. Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках,,.

Решение.Найдем координаты векторов, совпадающих с ребрами пирамиды, прилежащими к одной из вершин ее, например,,. Используя геометрический смысл смешанного произведения

, найдем объем параллелепипеда, а затем – объем пирамиды, который равен объема параллелепипеда. По формуле :

куб. ед.

Ответ:куб ед.

Задача 13. Доказать, что четыре данные точки,,лежат в одной плоскости.

Р

10

ешение.Чтобы решить задачу, достаточно доказать, что три вектора, соединяющие данные точки, компланарны, т.е. лежат в одной плоскости. Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю . Введем в рассмотрение векторы,,и вычислим их смешанное произведение:

,

что и требовалось доказать.

ТЕМА 3

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

3.1 Прямая на плоскости

Задачи по теме «Прямая на плоскости»

Задача 1. Через точкупровести прямые, параллельные осям координат.

Решение.

а

1

) Если, то по уравнение:, а так как, то(координатыдолжны удовлетворять уравнению).

б

1

) Если, то по уравнение:, а так как, то(координатыдолжны удовлетворять уравнению).

Ответ::;:.

Задача 2. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая?

Р

2

ешение.Воспользуемся формулой. Чтобы найти расстояние от точки- начала координат – до данной прямой, подставим в левую часть этого уравнения, вместо текущих координат, координаты точки, возьмем полученное число по модулю и поделим его на длину нормального вектора, т.е. на, имеем.

Ответ: .

Задача 3. Найти площадь треугольника, образованного прямойи осями координат. Построить эту прямую.

Решение.Приведем уравнение данной прямой к виду «в отрезках на осях» :

, т.е. к виду, где,

- отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

Треугольник, образованный данной прямой и осями

координат, - прямоугольный, а катеты его равны 3 и 7. Тогда:

кв. ед.

Ответ: кв.ед.

Задача 4. Даны точкаи вектор. Через точкупровести две прямых, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна вектору.

Решение.

а)- воспользуемся уравнением , гдеи- координаты точки, лежащей на прямой, а- направляющий вектор прямой. Приняв за него вектор, получим:или.

б) – воспользуемся уравнением , где точкапринадлежит прямой, а вектор– нормаль к прямой, за которую примем вектор:или.

Ответ::;:.

Задача 5. Какие углы с осьюобразуют прямые, проходящие через точки:

а) и; б)и; в)и?

Решение. Используем уравнение прямой, проходящей через две данные точки :

.

а) или, где, т.е.,.

б) или, где, т.е.,.

в) или, гдене существует, т.е.,.

Ответ:;;.

Задача 6.Найти углы, которые получатся при пересечении двух данных прямыхи.

Решение. Воспользуемся формулой :,и- где угловые коэффициенты данных прямых соответственно. Преобразуем уравнение данных прямых к виду:;. Тогдат.е. угол, который образует первая прямая со второй,; второй, смежный с ним, который образует вторая прямая с первой,.

Ответ:.

Задача 7.Через точку пересечения прямыхипровести две прямые, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна прямой( , ).

4

Решение. Воспользуемся уравнением, где- угловой коэффициент прямой, а- точка, через которую проходит искомая прямая. Вначале найдем точку, как точку пересечения данных прямых, решив совместно их уравнения:

9

4

а) первая из искомых прямых параллельна прямой, следовательно, ее угловой коэффициент, т.к. уравнениеможно записать так:. Подставив в уравнение ,найденные параметры получим:или.

10

б) вторая из искомых прямых перпендикулярна, следовательно, ее угловой коэффициент. Тогда уравнение второй - искомой прямой:или.

Ответ:;.

Задача 8. Показать, что точки,илежат на одной прямой.

Р

8

ешение.Через точкиипроведем прямую :, или, или. Чтобы убедиться, что точкатоже лежит на этой прямой, подставим координаты этой точки в полученное уравнение прямой. Задача решена.

Задача 9. Даны координаты вершин треугольника:,,. Найти уравнение медианы, проведенной из вершинык стороне, и вычислить ее длину.

Решение. а) Найдем координаты точки-середины отрезкапо формулам:

,;.

Уравнение медианы составим, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки и:,или.

б) Длину медианы вычислим по формуле:

.

Ответ: а); б).

Задача 10. Найти точку, симметричную точкеотносительно прямой.

Решение. Искомая точкасимметрична точкеотносительно прямой, если она лежит на одном с ней перпендикуляре к прямой:, и на одинаковом расстоянии от прямой:.

а) Составим уравнение прямой:, где, т.к.и;или.

б) Найдем точку – точку пересечения прямыхи, решив систему их уравнений:

- проверьте!

в) Так как - середина отрезка. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам, приведенными в предыдущей задаче. Подставив в них известные величиныи, получим уравнения,. Отсюда,.

Ответ: .