Некоторые свойства произвольных линейных пространств.

Запишем без доказательства два утверждения:

1). В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента x существует единственный противоположный.

2). В произвольном линейном пространстве: а) нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемента x на вещественное число 0; б) для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента x на вещественное число –1.

Пусть некоторое множество L является линейным пространством. Всякое подмножество L₁ пространства L, элементы которого в свою очередь образуют линейное пространство, (с теми же операциями сложения и умножения) называется подпространством пространства L. Очевидно, что единственный нулевой вектор 0  L и само пространство L являются наименьшим и наибольшим подпространствами линейного пространства L.

Примеры подпространства: в пространстве векторов V₃ векторы, параллельные некоторой плоскости образуют подпространство V₂.

Определение линейной оболочкой векторов x₁ x₂ ... x_m – некоторой системы векторов пространства L - называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов, т.е. множество элементов вида

₁ x₁ + ₂ x₂ + ...+ _m x_m

где ₁ ₂ ... _m – произвольные действительные числа. Линейную оболочку будем обозначать L (x₁ x₂ ... x_m).

Иногда говорят, что линейная оболочка – это подпространство, натянутое на данную систему векторов.

Размерность и базис линейного пространства.

В пространстве V₃ каждый вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам, которые называются базисом пространства V₃. Рассмотрим вопрос о построении базиса в произвольно пространстве R. Для этого повторим некоторые важные понятия.

Линейная зависимость векторов. Если x₁ x₂ … x_n – векторы линейного пространства R, а ₁ ₂ … _n – произвольные числа из поля K, то выражение

₁ x₁ + ₂ x₂ +…+ _n x_n

называется линейной комбинацией векторов x₁ x₂ … x_n, а числа ₁ ₂ … _n называются коэффициентами этой линейной комбинации. Если линейная комбинация векторов обращается в нуль тогда и только тогда, когда все _i = 0, то вектора являются линейно независимыми. В противном случае, когда

₁ x₁ + ₂ x₂ +…+ _n x_n = 0

при условии, что хотя бы один _i = 0, вектора называются линейно зависимыми.

Вспомним, что мы доказывали, что любая совокупность векторов x₁ x₂ … x_n, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой. Точно также система векторов x₁ x₂ … x_n, содержащая совокупность линейно зависимых векторов, линейно зависима.

Наконец, докажем теорему, что векторы x₁ x₂ … x_n линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию оставшихся.

Другими словами, нужно доказать необходимость и достаточность. Докажем необходимость. Пусть x₁ x₂ … x_n линейно независимы. Тогда:

 x₁ +  x₂ +…+  x_n = 0

причем хотя бы одно из чисел , , …,   0. Положим, что   0. Тогда

(*)

а это по определению означает линейную комбинацию. Достаточность: пусть x₁ является линейной комбинацией оставшихся, т.е. равенство (*) выполнено. Тогда перепишем его в виде:

Поскольку из чисел (-1), , … ,  одно не равно нулю (-1), то это означает линейную зависимость векторов x₁ x₂ … x_n.

а) Размерность линейного пространства.

Если в линейном пространстве R существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимы, то линейное пространство называется n – мерным. Число n называется размерностью пространства. Символ размерности - dim R.

Например, пространства V₃ и V₂ соответственно трехмерные и двухмерные. Существуют бесконечномерные линейные пространства. Пример такого пространства – это векторы x и y из пространства С [a, b]. Их сумма и произведение имеют вид:

x =  (t) y =  (t)

x + y =  (t) +  (t),  x =   (t)

В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.

б) Базис линейного пространства.

Система { e } из n линейно – независимых векторов n – мерного пространства , заданных в определенном порядке, называется базисом этого пространства.

Теорема: любой вектор х n – мерного пространства и при том единственным образом, можно разложить по базису этого пространства .

Действительно, векторы линейно зависимы т.к. их число равно n + 1, а по определению базиса n – мерного пространства n + 1 векторов линейно зависимы. Тогда составим выражение:

где хотя бы одно _i будет отлично от 0. ₀  0, т.к. иначе окажется, что базисные вектора линейно зависимы. Тогда:

т.е. можно представить как линейную комбинацию векторов базисных. Причем, разложение это единственно. Запишем разложение в виде:

и назовем числа x₁ x₂ … x_n координатам вектора x в базисе . Будем писать.