Кінетична енергія матеріальної точки. Теорема про зміну кінетичної енергії.

Нехай матеріальна точка масою m рухається під дією прикладеної сили , здійснюючи переміщення.

Тоді, використовуючи ІІ закон Ньютона в диференціальній формі:

;

;

⇒(2-11)

Зміна кінетичної енергії точки (тіла) дорівнює повній роботі рівнодійної всіх сил, що діють на точку.

Цей висновок носить назву теореми про кінетичну енергію.

Кінетична енергія має властивість адитивності, тобто кінетична енергія систем точок (тіл) дорівнює сумі кінетичних енергій тіл (точок), з яких складається механічна система:

(2-12)

Потенціальна енергія. Консервативні (потенціальні) сили і системи.

Потенціальна енергія тіл, які взаємодіють може бути визначена, якщо вказано взаємне положення тіл і сили, що діють між ними.

Тобто потенціальна енергія – це енергія положення і взаємодії тіл.

Для того, щоб змінити взаємне розміщення тіл без зміни їх швидкостей необхідно до них прикласти зовнішні сили, які б зрівноважили внутрішні сили, з якими взаємодіють тіла.

Тому можна дати таке означення:

Потенціальна енергія – енергія, що залежить від взаємного розміщення взаємодіючих тіл або частин одного і того ж тіла, і вимірюється тією роботою, яку виконують зовнішні сили, щоб перевести механічну систему без зміни її швидкості із одного стану в інші, тобто:

Підрахуємо роботу тіла, яке переміщається рівномірно () по довільній траєкторії в однорідному полі сили тяжіння (рис. 2.6).

Рис. 2.6.

Підрахуємо роботу зовнішніх сил: ;

, де

; ;

; (2-13)

Висновок:

а) робота сили тяжіння рівна взятій з протилежним знаком зміні потенціальної енергії тіла;

б) робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії, а залежить лише від положення початкової і кінцевої точки переміщення відносно нульового рівня;

в) потенціальна енергія піднятого тіла в полі сили тяжіння визначається з точністю до деякої постійної, яка має зміст потенціальної енергії.

Таким чином,

або , а

Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії руху, а залежить лише від положення початкової і кінцевої точок переміщення, називаються консервативними або потенціальними.

Механічні системи, в яких діють потенціальні сили, називаються консервативними.

Приклади: сила тяжіння (гравітаційна сила), сила пружності – консервативні сили.

Робота пружної сили:

Зв’язок консервативної сили з потенціальною енергією.

Робота консервативної сили: .

З іншого боку: ; якщо, тоді

(2-14)

Консервативна сила дорівнює взятій з протилежним знаком зміні потенціальної енергії, яка припадає на одиницю довжини, що відрахована в бік зростання потенціальної енергії.

Знак (–) вказує на те, що консервативна сила направлена в бік зменшення потенціальної енергії.

Закон збереження повної механічної енергії матеріальної точки в полі потенціальних сил.

Нехай матеріальна точка рухається під дією консервативної сили.

Тоді робота консервативної сили: .

З другого боку, використовуючи теорему про зміну кінетичної енергії:

.

Тоді: ;

(2-15)

Закон збереження механічної енергії: повна механічна енергія матеріальної точки, що рухається під дією потенціальних сил, зберігається в процесі її руху.