2. Покажем, что - неподвижная точка. Из сходимостиследует, т.Е.

.

Далее, используя (2) и условие сжатия 2), получаем:

Следовательно, ,

Таким образом, из единственности предела последовательности следует, что , т.е.-- неподвижная точка оператора.

3. Докажем единственность неподвижной точки х*.

От противного. Пусть такие, чтои. Тогда получаем:

Полученное противоречие доказывает утверждение о единственности точки .

4. Докажем неравенства (4) и (5). Заметим, что неравенство (4) следует из неравенства (7) при р:

т.к. правая часть неравенства (7) не зависит от р. Покажем, что условие (5) следует из (4). Действительно,

{неравенство треугольника}

Отсюда Деля обе части этого неравенства на, получаем (5).

Замечание. Неравенство (4) показывает, что последовательность {xⁿ} сходится к х* со скоростью геометрической прогрессии (такая скорость называется линейной): каждый шаг в раз приближает кх*. Кроме того, неравенство (4) позволяет определить, сколько итераций (шагов) необходимо сделать для достижения заданной точности . Для этого нужно решить неравенство:

относительно .

Ясно, что для хорошей оценки числа итераций необходимо точнее оценивать константу сжатия , что на практике не всегда просто сделать. При реализации алгоритма полезно также использовать неравенство (5), позволяющее контролировать каждый шаг итерации и установить следующий критерий останова:

Теорема 3.2. Пусть Х – банахово пространство, то есть полное нормированное пространство с нормой элементов .Т – оператор, определенный на замкнутом множестве S и отображающий S в себя. Тогда, если выполняются условия

1) 2)

(8)

(условие 1) ─ условие Липшица с константой ), то справедливо утверждение теоремы 3.1.

Действительно, положим результат.

22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.

Теорема 3.3. Пусть (одномерный случай) и задано уравнение

.

Требуется решить его методом простых итераций.

Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

1) - условие Липшица с константой на отрезке [a,b]; 2) .

(1)

Тогда оператор f(x) - сжимающий и уравнение (8) имеет единственную неподвижную точку, которую можно найти методом простых итераций:

.

Действительно, определим . Следовательно, выполняются все условия теоремы 3.2, откуда и следует результат.

Теорема 3.4. Пусть , причем выполнены условия:

1) ; 2)

Тогда оператор f(x) является сжимающим, и справедливо утверждение теоремы 3.1, т.е. последовательность сходится к единственному коню уравнения.

Пусть , тогда, согласно условию 1) теоремы. Далее по индукции устанавливаем, что все члены последовательностипринадлежат. Пусть. Согласно теореме о среднем

, . Оценим это неравенство по модулю:

согласно условию 2) теоремы.

Таким образом, выполняются все условия теоремы 3.3., откуда и следует результат.

Рассмотрим задачу поиска действительных корней уравнения . Пусть известны границы для единственного корня этого уравнения и мы хотим найти этот корень методом итераций. Если удастся привести уравнение к видуx=f(x), так чтобы выполнялись условия теоремы 3.3 или теоремы 3.4, то в этом случае можно будет применить метод итераций. Такое преобразование, вообще говоря, не единственно, причем главная трудность заключается в определении того замкнутого ограниченного множества S (а в одномерном случае – отрезка [a,b]), для которого помимо условия сжатости, выполняется условие .

Лемма 3.1. Определим множество - замкнутыйr-“шар” с центром в точке х₀ (в одномерном случае – отрезок). Пусть оператор Т - сжимающий на S и выполняется следующее условие:

(9)

Тогда для любой точки выполняется:.

Достаточно доказать, что Имеем:{неравенство треугольника} .