Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры_чм.doc
Скачиваний:
70
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
3.18 Mб
Скачать
  1. Структура погрешности в численном анализе.

Рассмотрим основные источники погрешностей, возникающих в численном анализе.

  1. Погрешности математической модели.

Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности.

  1. Погрешности исходных данных.

Данные могут оказаться неточными в результате неточных измерений или ввода в компьютер таких констант как π, е и др.

  1. Погрешности метода решения.

Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи.

  1. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций.

В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми. Погрешность метода обычно оценивается в норме того метрического пространства, в котором действуют операторы преобразованной задачи. Чаще всего алгоритм решения устроен как итерационный процесс. Поэтому возникает проблема сходимости этого процесса к некоторому решению – приближенному решению исходной задачи и вопрос о близости полученного решения к точному решению исходной задачи.

  1. Позиционная и нормализованная формы записи чисел. Значащие и верные цифры позиционной системы.

Ошибки округления связаны с устройством арифметического процессора на ЭВМ, имеющего конечную разрядность. Чтобы разобраться в этом вопросе, рассмотрим две основные формы записи чисел.

1) Запись числа в позиционной системе счисления:

,

где a – основание позиционной системы, a{2,8,16,10,…},

.

Пример 1. Пусть a =10. Расшифровать десятичное число X= 27,135

.

Определение 1. Значащими называются все цифры числа X, записанного в позиционной системе, начиная с первой слева отличной от нуля.

Пример 2. В записи числа X = 0,006071 значащими являются цифры 6,0,7,1.

2) Нормализованная форма записи числа (запись числа в арифметическом процессоре «с плавающей запятой»):

,

где f – мантисса числа X, удовлетворяющая условию ,а - основание системы счисления (а=2,8,10 и т.д.), L – порядок числа, ,

,

- цифра в k-ом разряде мантиссы (дробного числа), ,k=2,3,… , 0< f1<a, t – число используемых значащих цифр (характеристика вычислительного устройства).

Пример 3. Пусть X = 0,03045 в десятичной системе. Записать число X в нормализованной форме.

.

  1. Ошибки округления чисел. Распространение ошибок округления в арифметических операциях. Абсолютная и относительная погрешность суммы, разности, произведения и частного.

Введем основные понятия, связанные с погрешностью чисел.

Пусть - приближенное представление числаX, т.е. , где- погрешность.

Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .

Максимально возможное значение , т.е. число, удовлетворяющее неравенству, называетсямаксимальной или предельной абсолютной погрешностью (ошибкой).

Определение 3. Величина, равная

,

называется относительной ошибкой представления числа X числом .

Если , то числоназываетсямаксимальной (предельной) относительной ошибкой.

1.2 Распространение ошибок округления в арифметических операциях.

1) Операции сложения и вычитания.

Пусть ,. Тогда, где.

Поскольку , то,

т.е. при сложении чисел предельные абсолютные ошибки складываются.

Не трудно убедиться, что такое же правило справедливо и для разности.

Вывевсти формулу для максимальной относительной погрешности разности ◄ самостоятельно ►.

2) Операция умножения.

Пусть ,

где , тогда

,

Следовательно,

,

т.е. .

Если последнее слагаемое имеет второй порядок малости по сравнению с первыми двумя, то им можно пренебречь. В этом случае получаем более простое правило: при умножении относительные максимальные ошибки приближенно складываются.

3) Операция деления.

Пусть , , .

Пример 4. Показать, что справедливо следующее правило:

.

  1. Близость в метрическом и нормированном пространствах. Расстояние и норма, их определение и свойства. Основные классы функций: и.

Определение 1. Множество X элементов произвольной природы (не обязательно числовое множество) называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число, (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:

А1. тогда и только тогда, когдаx=y.

А2. .

А3. – неравенство треугольника.

Определение 2. Говорят, что последовательность элементов метрического пространстваX сходится к элементу , если.

Определение 3. Последовательность элементов метрического пространстваX называется фундаментальной, если .

Определение 4. Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства.

Замечания.

Не любое метрическое пространство является полным.

Например, множество всех рациональных чисел с метрикой

не является полным, т.к., скажем, последовательность - фундаментальная, но- иррациональное число.

Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе.

Определение 5. Множество X называется нормированным линейным пространством, если

оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами.

Любому элементу поставлено в соответствие число(нормаx), удовлетворяющее аксиомам:

А1. ,

А2.

А3. – неравенство треугольника.

Замечание. Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, если ввести метрику по формуле

, (1)

Если последовательность нормированного пространстваX сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.

Нетрудно убедиться, что для метрики (1) выполняются все аксиомы метрики.

Приведем некоторые примеры классов функций и соответствующих линейных пространств.

Пример 5. Множество всех функций, заданных на отрезке [a,b] и имеющих на нем непрерывные производные до k -го порядка включительно, называется классом .

Пример 6. При k=0 получаем класс - множество непрерывных на отрезке [a,b] функций.

Если на ввести норму по формуле

,

(2)

то получим линейное нормированное пространство C[a,b] (операции сложения и умножения на число вводятся обычным образом f+g=f(x)+g(x), ).

Аксиомы А1, А2 – очевидно, выполняются. В справедливости А3 нетрудно также убедиться с помощью свойств модуля и теоремы Вейерштрасса.

Замечания.

Норму в классе можно ввести не единственным образом.

Например,

.

Сходимость последовательности по норме (2) – это равномерная сходимость:

.

Пространство C[a,b] с нормой (2) является полным в силу теоремы мат. анализа: равномерно сходящаяся последовательность в замкнутой области сходится к непрерывной функции.

Пример 7. Множество всех функций, p-я степень модуля которых интегрируема на отрезке [a,b], называется линейным нормированным пространством , если на нем введена норма по формуле

.

(3)

Сходимость по норме (3) называется сходимостью в среднем (при p=2 - среднеквадратичная сходимость).

Замечание. Пусть , тогда.

, .

Отсюда следует, что из сходимости последовательности по норме C следует ее сходимость по норме , но не наоборот.

  1. Постановка задачи интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о погрешности интерполяции. Единственность многочлена Лагранжа.

Пусть дана сетка узлов , где, и известны значения функциив узлах сетки:, причем(n+1) узловых точек – попарно различны.

Интерполяция обобщенными полиномами.

Пусть известна система линейно независимых функций . Требуется найти такую линейную комбинацию

- «обобщенный полином n-го порядка», для которого выполняется условие совпадения значений полинома в узлах сетки со значениями . Это требование приводит к системе линейных уравнений:

.

(4)

Систему (4) называют нормальной системой уравнений.

Для разрешимости системы (4) необходимо, чтобы определитель системы

.

Рассмотрим частный случай задачи интерполяции – интерполяцию алгебраическими полиномами.

В этом случае в качестве базисной системы функции выступают степенные функции:

.

Обозначим - искомый интерполяционный полиномn-ой степени

,

и запишем условия совпадения значений полинома с табличными значениями функции :

.

(5)

Определитель этой системы - определитель Вандермонда – отличен от нуля:

,

поэтому система имеет единственное решение.

Система (5) плохо обусловлена.(см. п.п 3.4.3.). Покажем, как можно построить искомый интерполяционный полином другим способом, не решая систему. Для этого построим так называемые фундаментальные полиномы степени n: , удовлетворяющие условию:

.

(6)

Нетрудно убедиться, что указанным свойством обладает полином следующего вида:

Условие (6) непосредственно проверяется. Отсюда следует, что искомый интерполяционный полином можно записать в виде:

.

(7)

Очевидно, что в силу свойства фундаментальных полиномов, Полученный таким способом полином называютинтерполяционным полиномом Лагранжа.

Приведем еще одно доказательство единственности полинома Лагранжа (7) независимо от логики решения нормальной системы (2).

Теорема 1.1. Полином Лагранжа (4), проходящий через все табличные(n+1) значения функции y(x) – единственный.

От противного. Пусть еще один полиномстепениn, решающий ту же задачу интерполяции. Рассмотрим разность - полином порядка. Очевидно, что этот полином имеет на отрезкеровно(n+1) корень, что противоречит основной теореме алгебры. Значит,

Теорема 1.2. (О погрешности интерполяции). Пусть функция , задана сетка узлов,– интерполяционный полином Лагранжа (4), построенный по значениям функцииy(x) в узлах сетки Xn. Тогда для погрешности интерполяции справедливы следующие оценки:

(8)

теоретическая погрешность в точке ,

(9)

– абсолютная погрешность в точке,

(10)

– максимальная абсолютная погрешность на всем отрезке,

где

– специальный полином (n+1)-ой степени, построенный по узлам как по нулям;

– существует в силу определения класса функций .

Запишем y(x) в виде:

,

где – погрешность интерполяции в точке. Очевидно по условию, что.

Отсюда следует, что погрешность (остаточный член) интерполяции можно искать в виде:

,

где r– некоторая функция.

Зафиксируем точку и рассмотрим вспомогательную функцию

,

(11)

где t – свободная переменная.

Положим в (11) t=x.

.

Т.е. функция обращается в 0 в точке t=x. Положим далее последовательно Получаем:

.

Т.о. мы получили, что на отрезке функцияобращается в 0 ровно в(n+2) точках. Отсюда по теореме Ролля следует, что на интервале (a,b)

  • существует, по крайней мере, (n+1) точка, в которой обращается в 0;

  • существует, по крайней мере, n точек, в которых обращается в 0;

  • …………………………

  • существует, по крайней мере, 1 точка , в которойобращается в 0.

Продифференцируем формулу (11) по t n+1 раз и положим . Получим:

.

(12)

Учтем, что , т.к. степень полинома равнаn. Далее получаем:

,

т.к. - многочлен-ой степени специального вида с коэффициентом при старшей степени, равным 1.

Подставляя эти результаты в (12), получаем:

,

откуда следует

.

Подставляя в выражение для , получаем

,

откуда следует формула (8). Оценки (9), (10) вытекают из (8) автоматически.

  1. Интерполяция на равномерной сетке. Конечные разности и их свойства.

Пусть задана равномерная сетка узлов . Обозначим– множество узловых точек;- шаг сетки.

Определение. Величина

называется конечной разностью первого порядка (или разностью «на шаг вперед»).

……………………..

(13)

- конечная разность m-го порядка.

Свойства конечных разностей.

1. Операторы - линейные операторы.

Пусть - произвольные табличные значения.

Доказательство проведем по индукции. Вначале проверяем утверждение для m=1.

оператор линейный.

Далее пусть - линейный оператор. Покажем, что илинейный.

2. Операторы и- перестановочные, т.е.

.

Последовательно используя определение (13), получаем следующую цепочку равенств:

То же самое получим, действуя в обратном порядке.

Следствия из свойств 1 и 2.

С.1.

С.2. линейно выражается через узловые значения.

По индукции. Для m=1 утверждение следует из определения оператора . Пусть утверждение справедливо для оператора, т.е., гдеm>2, тогда

3. Рассмотрим сетку , в которую введен дополнительный узел. Пусть функцияТогда справедливы следующие формулы:

.

(14)

.

(15)

Пусть m=1. Тогда

где h – приращение аргумента.

m=2.

(14) при .

Уравнение (15) является частным случаем уравнения (14) при .

4. Для сетки Xn рассмотрим полином m-го порядка

.

Таким образом для полинома -го порядка конечные разности-го порядка постоянны, а конечные разности порядков, больших, чем, равны нулю.

Замечание. Справедливо и обратное к свойству 4 утверждение: если для некоторой функции m-ные конечные разности постоянны при любом выборе шага, то это означает, что .

  1. Интерполяционный многочлен Ньютона. Построение и теоретические оценки погрешности.

Пусть - сетка равноотстоящих узлов. Известны табличные значениянекоторой функции.

Запишем многочлен Лагранжа в следующем виде:

.

(16)

Введем безразмерную переменную

, для

где h – шаг. Очевидно, что для. Кроме того, для данной сетки

;

.

(17)

Потребуем выполнения условий совпадения значений полинома с табличными значениями в узловых точках

Далее по индукции получаем общую формулу для коэффициента

Заметим, что из определения q следует, что

Подставляя (17) и формулу для в (16), получаем:

(18)

Формула (18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона или формулой «интерполирования вперед».

Приведем простейшие частые случаи интерполяции по Ньютону:

1) Линейная интерполяция, :

.

2) Квадратичная интерполяция, :

.

Погрешность интерполяционной формулы Ньютона.

Нам известна теоретическая оценка абсолютнойпогрешности интерполяции в точке по Лагранжу

(5)

.

Преобразуем многочлен для случая равноотстоящих узлов:

Поскольку согласно формуле (17), , то

.

Т.о. для оценки погрешности в точке получаем:

или

,

(19)

где

.

Из формулы (19) следует оценка для максимальной абсолютной погрешности интерполяционной формулы Ньютона на всем отрезке

.

(20)

Пример 12. Показать, что из формулы (20) следует более простая, но завышенная оценка

,

(21)

подчеркивающая степенную зависимость точности интерполяции от шага h.

Для вывода (21) показать сначала, что

.

Доказательство провести по индукции: и т.д.

  1. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Многочлены Чебышева. Определение, построение, свойства.

Определение 1. Говорят, что функция , если. При этомназываетсявесовой функцией и удовлетворяет условиям: наи.

Определение 2. Функции иназываютсяортогональными на с весом, если их скалярное произведение

.

Замечание. Из неравенства Коши-Буняковского-Шварца для интегралов следует, что скалярное произведение существует

Определим на отрезке [-1,1] следующие многочлены Чебышева:

(24)

Найдем два первых многочлена Чебышева по формуле (24):

Для больших n неудобно работать с формулой (24). Выведем более удобную рекуррентную формулу. Полагая и подставляя в формулу тригонометрии:

,

получаем:

(25)

Формула (25) начинает работать, начиная со значений . Последовательно получаем:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]