29. Спектральный признак сходимости (теорема о необх. И достат. Условиях сходимости).

Теорема 3.8. (Спектральный признак сходимости). Для сходимости метода простых итераций СЛАУ второго рода необходимо и достаточно, чтобы .

Необходимость. Заметим, что если оператор удовлетворяет условию сжатости, то согласно теореме 3.6.

Пусть теперь известно, что итерационная процедура (28) сходится при . От противного: пусть, т.е. необходимое условие не выполняется. Тогдаи- соответствующий собственный вектор. Выберем начальное приближениеи запустим итерационную процедуру (29).

что противоречит сходимости приначальном приближении.

Достаточность. Докажем для частного случая, когда - вещественная и симметрическая матрица.

Выберем спектральную норму (норму -2):

, где - сингулярные числа матрицы.

Согласно свойству 6) , где- собственные значения матрицы.- т.е. получили достаточное условие сходимости согласно теореме 3.7. в норме -2.

Т.к. все матричные нормы эквивалентны, то сходимость в норме -2 влечет за собой сходимость и в остальных нормах.

30. Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау первого рода к системе второго рода.

Пусть задана система ЛАУ (23) общего вида (первого рода)

.

(1)

Требуется привести данную систему к специальному виду

x=Tx+d

(2)

с матрицей (оператором) Т, удовлетворяющей условию в какой либо матричной норме.

Рассмотрим простейший прием такого преобразования – тождественное преобразование:

,

( (31)

где Н - некоторая невырожденная матрица.

Из (31) следует, что

x=Tx+d, где .

( (32)

Определение 1. Итерационная процедура, основанная на представлениях (31)-(32)

(5)

называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (32) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.

Определение 2. Более общая линейная нестационарная итерационная процедура записывается в виде:

,

где H_k – матрица расщепления k-го шага. Соответственно матрица перехода T_k=E-H_kA – называется матрицей перехода k-го шага.

31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.

I. Метод простых итераций ( Метод Ричардсона).

Положим . Матрица перехода в этом случае имеет вид:

.

Получаем так называемый метод простых итераций или метод Ричардсона.

, или .

Выясним условия сходимости метода Ричардсона.

Пусть - собственное значение матрицы,- собственное значение матрицы.является корнем характеристического уравнения

.

- корнем уравнения

,

или: , откуда следует, что

.

Согласно теореме 3.8. условие сходимости:

.

Последнее условие, например, выполняется, если .

32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.

2. Ускоренный метод Ричардсона.

Пусть , где- некоторый вещественный параметр сходимости, с помощью которого можно оптимизировать процедуру Ричардсона (ускоряющий множитель).

Матрица перехода в этом случае имеет вид:

.

Требуется так выбрать параметр , чтобы минимизировать спектральный радиус.

Теорема 3.9. Пусть . Обозначим.

Тогда и достигается при, где- оптимальное значение параметра сходимости ускоренной итерационной процедуры Ричардсона:

.

Т.к. , то все собственные значения матрицыположительны (свойство 6 из параграфа 3.4.2):.

Выберем в качестве матричной нормы – спектральную норму . По определению,, поэтому чем меньше радиус сходимости, тем быстрее сходится итерационная процедура в соответствии с принципом сжатых отображений.

Пусть - собственное значение матрицы- корень уравнения

.

Пусть - собственное значение матрицыявляется корнем уравнения

.

Из сравнения двух характеристических уравнений следует:

.

Таким образом,

.

φ(λ)

Обозначим - функция отпри фиксированном.

Т.к. функция кусочно линейна, тодостигается на концах отрезка, следовательно

.

Найдем такое , для которого

.

(33)

Не трудно проверить, что при выполняется следующее условие:

,

т.е. указанное в теореме значение как раз и является оптимальным в смысле критерия (33). Действительно, пусть, например,

Из последних равенств видно, что при любом знаке один из модулей будет, т.е., что и требовалось доказать.

Лемма 3.2. Пусть матрица удовлетворяет условиюи является вещественной и симметрической, тогда максимальный коэффициент сжатия в ускоренном методе Ричардсонаможет быть записан в виде

,

где , и.(─ число обусловленности в норме-2).

Т.к. , то, поэтому по свойству 6)

,

а по свойству 7) собственные числа матриц ивзаимообратны.

Отсюда следует, что

, ,

и в обозначениях теоремы 3.9. можем записать:

.

Т.о. .

Следствие. Если система первого рода плохо обусловлена (), тои метод Ричардсона сходится плохо и становится чувствительным к возмущениям правой части. В этом случае необходимо перейти к более эффективным методам решения СЛАУ (например, к методу сопряженных градиентов, методу минимизации невязки и др. [1,5]).