- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •1.2 Распространение ошибок округления в арифметических операциях.
- •1.7.2. Простейшие свойства многочленов Чебышева.
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурные формулы на основе интерполяции. Формулы для коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формулы теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеций и Симпсона
- •15. Теоретические оценки погрешности обобщенных формул трапеций и Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов Лежандра на каноническом отрезке [-1,1].
- •2. Покажем, что - неподвижная точка. Из сходимостиследует, т.Е.
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы – общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Определение числа обусловленности.
- •28. Метод итераций для слау второго рода. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости (теорема о необх. И достат. Условиях сходимости).
- •30. Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау первого рода к системе второго рода.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Организация алгоритма.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теоремы об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановки задачи в одномерном случае для первой и второй производной. Сведение к системе уравнений с первой производной.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод “предиктор – корректор” и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для оду 2-го порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод “стрельбы” решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду 2-го порядка.
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •10. Среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов в регрессионном анализе. Вывод уравнения прямой регрессии.
39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
Будем искать решение задачи (6) в прямоугольнике.
Введем равномерную сетку на оси
, ,.
Простейший итерационный процесс решения задачи (6) получается, если аппроксимировать производную на сеткеправой конечной разностью.
Обозначая приближенное решение на сетке , и отбрасывая остаточный член, получим
|
(10) (10)
|
Итерационная процедура (10) представляет собойметод Эйлера (или метод ломаных). Графическая иллюстрация метода приведена на рис. 4.1
Рис. 4.1. Графическая иллюстрация метода Эйлера (метод ломаных). Жирная кривая – ломаная Эйлера;
U(x) – интегральная кривая, проходящая через начальную точку (1,U(1));
шаг сетки h= 1.eps(3) – погрешность в точкеx2= 3.
Начав движение из точки на точном решении, итерационное решение образует ломаную линию, каждый отрезок которой представляет собой касательную к кривой, проходящую через данную точку.
Действительно, запишем уравнение касательной к u(x) в точке и положим:
.
Далее, аналогичным образом, строим касательную в точке и положим
и т.д.
Здесь – та интегральная кривая, которая проходит через точку (x1,y1).
Из рисунка видно, что ошибка растет с номером k. Выясним, каков порядок этой ошибки в сеточной норме
.
Будем считать, что ошибка округления имеет порядок не меньший, чем . Тогда из (10) следует:
|
(11) |
Разложим точное решение в точкес такой же точностью:
|
(12) |
Вычтем(12) из (11)
|
(13) |
где .
В силу условий теоремы существования и единственности частные производные ограничены в прямоугольнике:.
Обозначим и оценим (13) по модулю
|
по условию.
Обозначим
|
(10) (14) |
Теорема 4.4. Для метода Эйлера имеет место следующая оценка погрешности:
|
(11) (15) |
Из (14) следует (используем рекурсию «назад»):
Используя алгебраическое тождество
получаем:
|
(12) |
В последнем неравенстве использован второй замечательный предел.
Учитывая, что
получаем
,
т.е. оценку (15).
Замечание. Из соотношений (14) и (15) следует, что
1. Ошибка растет с номером шага k.
2. Порядок ошибки в методе Эйлера .
40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод “предиктор – корректор” и метод «средней точки».
Метод предиктор-корректор. Проинтегрируем обе части уравнения (6) по отрезку на равномерной сетке:
.
Левую часть полученного уравнения вычисляем по формуле Лейбница:
.
Для вычисления правой части используем квадратурную формулу трапеций:
где погрешность, определяемая формулой
.
Если отбросить остаточный член, то получаем неявную итерационную схему.
|
(13) (16) |
Аналогично тому, как оценивается ошибка в методе Эйлера, можно показать, что результирующая ошибка метода (16) имеет порядок (теряется один порядок при приближении к концу отрезка).
Т.к. схема (16) неявная, то ее следует решать методом итераций для фиксированных точек и. Более простой путь заключается в следующем. Используем в (16) только 2 последовательных этапа итераций:
|
(14) (17) |
с начальным условием: .
Полученная схема (17) имеет также порядок точности и носит название «метод предиктор-корректор» .
Поясним геометрический смысл названия.
На первом этапе предсказывается значение по методу Эйлера. На втором этапе это значениекорректируется путем усреднения угловых коэффицинтов в точках и. За счет коррекции точность метода и повышается на порядок по сравнению с методом Эйлера.
Метод средней точки. Найдем сначала значение в промежуточной точкеотрезкапо простому методу Эйлера.:
- обозначим так найденное значение на половинном шаге от точки. Затем в полученной точкевычислим угловой коэффициент касательнойи в этом направлении совершим движение из точкив точкупо методу Эйлера:
.
Полученный метод имеет 2-ой порядок точности и называется модифицированным методом Эйлера с коррекцией углового коэффициента на половинном шаге или более коротко─метод средней точки.
Существует общий теоретический подход к построению явных итерационных методов решения задачи Коши повышенного порядка точности . Это так называемыеМетоды Рунге-Кутты -го порядка, удовлетворяющие следующим условиям.
1. Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точкуиспользуется лишь информация о предыдущей точке.
2. Процедура согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где- порядок метода.
3. Метод не использует производных от , а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка.
Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутты, имеющий наименьший первый порядок точности, а методы средней точки и предиктор-клрректор - методы Рунге-Кутты второго порядка.