- •Определение 2. Величина называется абсолютной погрешностью представления числа X с помощью числа .
- •1.2 Распространение ошибок округления в арифметических операциях.
- •1.7.2. Простейшие свойства многочленов Чебышева.
- •11. Численное интегрирование. Использование функциональных рядов.
- •12. Квадратурные формулы на основе интерполяции. Формулы для коэффициентов и остаточного члена.
- •13. Базовые квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и парабол. Формулы теоретической погрешности.
- •14. Обобщенные квадратурные формулы трапеций и Симпсона
- •15. Теоретические оценки погрешности обобщенных формул трапеций и Симпсона.
- •17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.
- •18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Теорема о необходимых условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.
- •20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов Лежандра на каноническом отрезке [-1,1].
- •2. Покажем, что - неподвижная точка. Из сходимостиследует, т.Е.
- •22. Метод простых итераций решения функциональных уравнений и систем. Условия сходимости.
- •23. Метод Ньютона. Геометрическая интерпретация. Теорема о сходимости метода в одномерном случае.
- •24. Метод Ньютона в многомерном случае. Организация итерационного алгоритма.
- •25. Численные методы решения слау. Прямые и итерационные методы – общие понятия.
- •26. Нормы вещественных квадратных матриц. Спектральные свойства матриц.
- •27. Обусловленность матриц и систем лау. Определение числа обусловленности.
- •28. Метод итераций для слау второго рода. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •29. Спектральный признак сходимости (теорема о необх. И достат. Условиях сходимости).
- •30. Стационарные итерационные процедуры. Приведение слау первого рода к системе второго рода.
- •31. Метод простых итераций Ричардсона. Условия сходимости.
- •32. Теорема о выборе ускоряющего множителя в методе Ричардсона.
- •33. Метод Якоби. Организация алгоритма. Теорема о достаточных условиях сходимости.
- •34. Метод Зейделя как ускорение метода Якоби. Организация алгоритма. Теорема об условиях сходимости.
- •35. Метод последовательной верхней релаксации. Организация алгоритма.
- •36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.
- •37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теоремы об аппроксимации первой и второй производной.
- •38. Задача Коши. Постановки задачи в одномерном случае для первой и второй производной. Сведение к системе уравнений с первой производной.
- •39. Метод Эйлера. Алгоритм, геометрическая интерпретация, порядок точности.
- •40. Методы Рунге-Кутты повышенной точности. Метод “предиктор – корректор” и метод «средней точки».
- •41. Общая постановка краевой задачи для оду 2-го порядка. Классификация граничных условий.
- •42. Метод “стрельбы” решения краевой задачи с граничными условиями первого рода.
- •43. Метод конечных разностей решения линейной краевой задачи для оду 2-го порядка.
- •45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.
- •16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.
- •10. Среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов в регрессионном анализе. Вывод уравнения прямой регрессии.
27. Обусловленность матриц и систем лау. Определение числа обусловленности.
Пусть дана система ЛАУ с невырожденной матрицей А :
Ax=b, |
(23) |
и пусть вектор правой части b вычисляется с ошибкой .
Заменим правую часть “возмущенным” значением , тогда решение приобретет ошибкуи система примет вид:
. |
(24) |
Оценим относительную ошибку решения в зависимости от относительной величины возмущения правой части.
Из (23) и (24) следует: или.
Из совокупности равенств
{согласованность матриц}. |
(25)
|
С другой стороны, из (23) следует
.
Последнее неравенство подставим в (25)
. |
(26) |
Определение 6. Число называетсячислом обусловленности матрицы А.
Таким образом, из (26) следует, что относительная ошибка решения пропорциональна числу обусловленности матрицы А:
.
Если (система уравненийплохо обусловлена), то небольшие погрешности вычисления правой части (небольшие “возмущения”) могут приводить к весьма большим отклонениям от точного решения невозмущенной системы (23).
Заметим, что это явление не связано с явлением неустойчивости (т.е. накоплением ошибок при вычислениях), а является следствием специфического свойства матрицы А и наблюдается даже в том случае, когда все вычисления делаются абсолютно точно, а возмущение правой части вызвано неточностями начальных данных при формировании системы
28. Метод итераций для слау второго рода. Теорема о достаточных условиях сходимости.
Рассмотрим вначале систему ЛАУ специального вида
x=Tx+d, ,,T - матрица . |
(27) |
Назовем эту систему системой второго рода, в отличие от вида системы (23) из параграфа 3.4.3. – системы первого рода.
Систему второго рода (27) естественно пытаться решать итерационным методом
|
(28) |
В этом методе используются лишь операции сложения и умножения, и не используется операция обращения матрицы – наиболее опасная для накопления ошибок.
Теорема 3.6. Для любой согласованной матричной нормы имеет место неравенство.
Пусть - собственный вектор матрицы,- соответствующее собственное значение. Тогда справедлива следующая цепочка равенств и неравенств:
, в силу согласованности норм. Отсюда получаем
. В силу произвольности собственного значения , получаем требуемый результат.
Теорема 3.7. (Достаточное условие сходимости итерационной процедуры (28)). Пусть система (27) невырождена, т.е. имеет единственное решение, матрица- вещественная, причем(в какой-либо матричной форме), тогда итерационная процедура (28) сходится к решениюприсо скоростью геометрической прогрессии.
.Поскольку - решение системы (27), то. Найдем разность
.
Обозначим - вектор ошибкиk-ого шага. Тогда получаем итерационную процедуру
|
(29) |
Оператор - линейный и отображаетв себя. Согласно основному принципу сжатых отображений (теорема 3.2 для банахова пространства): если операторT удовлетворяет условию Липшица с константой
то оператор T в уравнении (29) – сжимающий и выполняется принцип сжатых отображений.
В нашем случае имеем:
.
Т.к. по условиюоператор- сжимающий и, следовательно, существует единственная неподвижная точка уравнения
(30)
Обозначим эту точку . Таким образом, выполняются уравнения:
и, кроме того, по определентю . Отсюда
,
Откуда получаем: . Из единственности решения системы (27) получаем:
, т.е. и итерационная процедура (28) сходится к единственной неподвижной точкесо скоростью геометрической прогрессии.