20. Классические ортогональные многочлены. Построение ортогональных многочленов Лежандра на каноническом отрезке [-1,1].

Замечание 2. Классические ортогональные многочлены обычно строятся для канонических промежутков: с соответствующими весами.

Таблица 2.1. Основные канонические системы ортогональных многочленов:

П Промежуток	Весовая функция	Название ортогональной системы	Остаточный член
		Полиномы Лежандра
		Полиномы Чебышева
		Полиномы Лагерра	Смотри в справочной литературе.
		Полиномы Эрмита

Самая простая формула Гаусса-Кристоффеля имеет место для промежутка с весом(используются нули полинома Чебышева):

,

где

.

Пример 3. Вычисляется интеграл

с помощью квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля порядка . Оценить по модулюи указать саму формулу.

- нули многочлена Лежандра (см. пример 16 п.п. 1.8 и семинарское занятие С-3):

, .

Найдем нули полинома :

, ,.

Для вычисления коэффициентов Кристоффеля используем формулу для полиномов Лежандра из таблицы 2.1. Для этого найдем сначала значения :

. Подставляя найденные значения в формулу для коэффициентов , получаем:. Отсюда следует формула Гаусса-Кристоффеля 3-го порядка, приближающая указанный интеграл:

.

Погрешность данного приближения вычисляем по формуле для из первой строки таб.2.1:

.

21. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Принципиальная схема доказательства. Доказать единственность неподвижной точки. Следствия теоремы для банаховых пространств и пространства .

Пусть Х – полное метрическое пространство, - расстояние между элементамих и у. Пусть, кроме того, SX – замкнутое ограниченное множество (компакт): и Т – оператор (вообще говоря, – нелинейный), действующий из S в S, то есть отображающий множество S в себя: .

Назовем точку неподвижной точкой оператора Т, если

х*=Тх*

Таким образом, неподвижные точки оператора Т являются решениями уравнения

(1)

Элемент называетсяобразом элемента , а элемент─прообразом элемента .

Наиболее простой способ решения этого уравнения – итерационный, начиная с некоторого значения х⁰

хn+1=Txn , х0

(2)

При этом важно, чтобы такая последовательность {xⁿ} сходилась к единственной точке х*.

Следующая теорема формулирует достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема 3.1. (Принцип сжатых отображений). Пусть Т – оператор сжатия на S, то есть для любых двух точек выполняются следующие два условия

1) и 2). (3)

Тогда в S существует единственная неподвижная точка оператора Т, являющаяся пределом последовательности {xⁿ}, определяемой процедурой итераций (2), начиная с . При этом скорость сходимости оценивается неравенствами:

	(4)
	(5)

Доказательство разобьем на несколько этапов.

1. Докажем, что последовательность {xⁿ} – фундаментальная. Рассмотрим

(6)

Далее при p1 имеем

{ вставим точку и воспользумся неравенством треугольника}

{продолжаем вставлять точки}

{на основании (6)}

(7)

Отсюда следует, что,,

следовательно, последовательность {xⁿ} – фундаментальная, и согласно критерию Коши-Вейерштрасса последовательность {xⁿ} сходится к некоторому элементу (так как S - компакт).