18. Алгебраическая степень точности квадратурной формулы. Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.

Рассмотрим общую задачу численного интегрирования с весовой функцией .

При построении квадратурных формул интерполяционного типа на бесконечных интервалах необходимо ввести дополнительно условие на весовую функцию:

.

(1)

Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов

: .

(18)

Будем называть число узлов порядком квадратурной формулы.

При построении квадратурных формул Ньютона-Котеса узлы распределялись равномерно по отрезку. Очевидно, что такой способ выбора узлов становится невозможным для несобственных интегралов с бесконечными пределами. Возникает вопрос: как выбрать систему узлов квадратурной формулы, чтобы формула (18) имела наивысшую возможную алгебраическую степень точности? Напомним, что квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности , если она точна для многочленов степени меньшей или равной. Заметим, что формула (16) содержит всего 2n неизвестных параметров (n узлов и n весовых коэффициентов). Столько же коэффициентов содержит и произвольный многочлен степени . Таким образом, наивысшая алгебраическая степень точности формулы (2*) не может быть больше.

Определение 1. Квадратурная формула (18), обеспечивающая условие:

называется квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

Определение 2. Квадратурная формула (18) наивысшей алгебраической степени точности носит название формулы Гаусса-Кристоффеля, а весовые коэффициенты -коэффициентов Кристоффеля.

19. Теорема о необходимых условиях выбора узлов в формулах Гаусса-Кристоффеля.

Теорема 2.3. Для того чтобы формула (18) была квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности, необходимо и достаточно, чтобы узлы совпадали с нулями полиномаиз системы ортогональных полиномовс весомна.

Необходимость. Пусть формула (18) имеет наивысшую алгебраическую степень точности. По определению это значит, что , где- семейство многочленов степени.

Как и при выводе интерполяционных формул, обозначим

─ полином n-ой степени, нули которого совпадают с узлами интерполяции.

Рассмотрим функцию .

Т.к. - алгебраический многочлен степени, то по условию теоремы. Но т.к., то из (18) следует, что

.

(19)

Из равенства (19) усматриваем, что , т.е многочленортогонален системедля.

Рассмотрим вспомогательную функцию , где- коэффициент при старшей степени многочлена. Очевидно, что- многочлен степени. Рассмотрим скалярное произведение

.

Пусть , тогда

Пусть теперь тогдав силу свойства 1) ортогональных полиномов (степень полиномаменьше чем).

Т.о. ортогональна всем полиномам системы. Отсюда, в силу свойства 4) ортогональных полиномов, следует, что.

Последнее равенство означает, что - нули полинома.

Достаточность. Пусть - нули полинома, и- полином степени. Требуется доказать, чтодля.

Очевидно, достаточно рассмотреть случай (если формула точна для многочлена степени, то она автоматически точна и для многочлена любой меньшей степени).

Пусть . Представим этот многочлен в виде:

,

(20)

где

- многочлен -ой степени (частное от деленияна),

, - многочлен степени (остаток от деления).

Т.к. - корни полинома, то из (20) следует, что

, т.е. является интерполяционным многочленом для, следовательно

,

(21)

где - фундаментальный многочлен Лагранжа-ой степени.

Учитывая (20) и (21), распишем интеграл:

=

.

(22)

Формула (22) - квадратурная формула интерполяционного типа с погрешностью

для , а, значит, и для любого многочлена степени.

Заметим, что единственность квадратурной формулы (18) следует из единственности нулей ортогонального полиномаP_n(x).