14. Обобщенные квадратурные формулы трапеций и Симпсона

При построении базовых квадратурных формул использовалось число узлов от одного до трех, распределенных равномерно на отрезке .

Для повышения точности квадратурных формул введем на более густую равномерную сетку с мелким шагомh:

и вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах

.

Используя полученное разбиение отрезка, запишем интеграл

.

Дальнейший результат будет зависеть от порядка базовой квадратурной формулы, используемой на i-ом интервале. Например, для приближения порядка (формула трапеций) обозначим

,

где ─ базовая квадратурная формула трапеций на-м интервале.

.

(13)

Формула (13) называется «обобщенной формулой трапеций».

Определение. Квадратурная формула n-го порядка, построенная на равномерной сетке с (N+1) узлом, носит название «формула Ньютона-Котеса порядка n с (N+1) узлом».

Т.о. формула (13) есть формула Ньютона-Котеса порядка n=1 c (N+1) узлом.

Пусть . Построим формулу Ньютона-Котеса второго порядка, обобщающую квадратурную формулу Симпсона. Так как базовая формула Симпсона строится по трем узлам, то для этого необходимо нараспределить нечетное число узлов (последний узел должен иметь четный номер):

. Диаграмма узлов изображена на рисунке:

На каждой последовательной тройке узлов используем базовую формулу Симпсона.

Обозначим

Имеем:

.

(15)

15. Теоретические оценки погрешности обобщенных формул трапеций и Симпсона.

Теорема 2.1. Пусть и- равномерная сетка узлов с шагом, и, гдеопределяется формулой (13). Тогда для погрешности обобщенной формулы трапеций справедлива формула:

, (14)

где ─ шаг сетки.

Обозначим погрешность базовой формулы трапеций на j-м интервале

, где ,.

Просуммируем все j-ые погрешности по N интервалам:

.

Т.к. по условию , тонепрерывна на. Отсюда следует, что функциятак же непрерывна на, причем из условияследует, что.

Далее по теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции получаем, что найдется такая точка, что.

Отсюда для погрешности формулы Ньютона-Котеса порядка 1 получаем:

.

(2)

В таком виде формула (14) демонстрирует степень зависимости погрешности от шага сетки

Теорема 2.2. Пусть и-равномерная сетка узлов с шагомна. Тогда для погрешности обобщенной формулы Симпсона справедлива формула:

. (16)

Теорема доказывается аналогично теореме 2.1, путем суммирования погрешностей на базовых отрезках

и использования теоремы Коши о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке.

17. Общие свойства полиномов ортогональных с весом.

Пусть - система ортогональных с весомна отрезкеполиномов. Справедливы следующие общие свойства таких полиномов.

1. Многочлен ортогонален любому алгебраическому многочленуm-ой степени при.

Действительно, многочлен можно единственным образом представить в виде линейной комбинации

.

(17)

Равенство (17) тождественное, поэтому коэффициенты единственным образом вычисляются путем приравнивания коэффициентов при соответствующих степеняхx.

Умножая обе части (17) скалярно на , имеем:

в силу ортогональности .

2. Полином имеет на отрезкеровноn действительных и различных корней.

Заметим, что в силу теоремы Гаусса многочлен не может иметь более, чемn корней (вообще говоря, комплексных).

Пусть имеет меньше, чемn простых действительных корней. Обозначим их . По этим точкам построим фундаментальный многочлен

Рассмотрим многочлен - многочлен степени, который имеет нуличетной кратности. Следовательно, он сохраняет знак на. Отсюда следует, что

, т.е. , что противоречит свойству 1.

3. Для всех ортогональных многочленов, построенных на канонических промежутках с соответствующими весовыми функциями, существуют формулы Родрига и рекуррентные формулы.

4. Система ортогональных с весомполиномов на- полна. Это значит, что не существует функции, отличной от нулевой и ортогональной всем функциям системы, т.е. из равенствследует, чтона.