45. Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости для уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры для оду и уравнений в частных производных.

Определение. Говорят, что разностная схема устойчива по правой части, если малые возмущения сеточной функции приводят к малому изменению сеточного решения. Близость оценивается в сеточной норме.

В общем случае произвольной К.Р.-схемы исследование устойчивости представляет собой сложную проблему. Наиболее просто решается эта задача для К.Р.-схем с постоянными коэффициентами. Для ОДУ второго порядка конечно-разностная схема получается из общего уравнения

.

После аппроксимации производных на сетке получаем:

(26)

В этом случае условия устойчивости получаются из исследования корней так называемого характеристического уравнения. Рассмотрим однородное уравнение (26) при и сделаем подстановку→. После сокращения на множитель, получаем:

(27)

Уравнение (27) называется характеристическим уравнением.

Сформулируем следующий спектральный признак устойчивости: Для устойчивости разностной схемы по правой части необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (27) удовлетворяли условию .

Пример 2. Исследуем на устойчивость метод Эйлера для модельной задачи Коши:

(28)

Уравнение (28) линейное и допускает точное решение

.

Очевидно, что при получаем экспоненциальный рост решенияпри. Решение задачи (28) конечно-разностным методом Эйлера приводит к итерационной процедуре

Характеристическое уравнение имеет вид: . Условие устойчивости для этого единственного корня:. Полученное неравенство выполняется, еслиТаким образом, получаем ограничение на шаг сетки.

Перейдем от ОДУ к уравнениям в частных производных и рассмотрим уравнение теплопроводности

(29)

в прямоугольнике . Аппроксимируя на сеткепроизводныеи, получаем конечно-разностные схемы того или иного порядка.

Пример 3. Исследовать на устойчивость К.-Р. схему порядка для уравнения (29).

Аппроксимируя производные со вторым порядком, получаем схему

где обозначено . Характеристическое уравнение получаетсяметодом гармоник, т.е. подстановкой (-амплитуда гармоники, -фаза) в однородное уравнение. После подстановки и сокращения на общий множитель , получаем:

.

Таким образом, характеристическое уравнение приобретает вид: , корни которого

.

Очевидно, что , поэтому полученная схема неустойчива.

Пример 4. Исследовать на устойчивость К.-Р. схему для уравнения (29) порядка точности .

Соответствующая конечно-разностная схема имеет вид:

Методом гармоник получаем характеристическое уравнение

.

Условие устойчивости приводит к неравенству для шагов сетки

16. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона.

10. Среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов в регрессионном анализе. Вывод уравнения прямой регрессии.