35. Метод последовательной верхней релаксации. Организация алгоритма.

5. Метод последовательной верхней релаксации.

Дальнейшее ускорение сходимости метода Зейделя может быть достигнуто с помощью введения ускоряющего множителя подобно тому, как это сделано в методе Ричардсона. Получающийся при этом алгоритм носит название метод последовательной верхней релаксации и реализуется в два этапа:

(15) (44)

где - ускоряющий множитель (параметр релаксации).

Доказано (см, например, [1]), что, если матрица симметрическая и положительно определенная, и, то итерационная процедура (44) сходится, причем существует такое оптимальное значение параметра, при котором достигается максимальное ускорение.

36. Численное дифференцирование на основе интерполяции.

Если функция задана таблично, то аналитическое дифференцирование невозможно. Строится интерполяционный полином и его производную принимают приближенно за.

Запишем 1-ую форму интерполяционного полинома Ньютона на равномерной сетке:

,

(1)

где .

- погрешность интерполяции.

Дифференцируя (1), получим:

,

где

-

- формула теоретической погрешности производной в точке .

37. Численное дифференцирование на равномерной сетке, основанное на тэйлоровском разложении. Теоремы об аппроксимации первой и второй производной.

Пусть задана сетка . Требуется вычислить приближенно производную функциив точке.

Теорема 4.1. Обозначим и т.д. и пусть, тогда существует такая точка, для которой справедлива формула:

(2)

Т.к. , то справедливо разложение Тейлора с центром в точкеи остаточным членом в форме Лагранжа:

.

В точке получаем:

,

откуда следует

,

что и требовалось доказать.

Теорема 4.2. Пусть тогда

.

(3)

Самостоятельно. См. ход доказательства следующей теоремы .

Теорема 4.3. Пусть , тогда существует такая точка, что справедлива формула

.

(4)

По условию теоремы справедливо тейлоровское разложение функции с центром в точке:

, (5)

где . Положим в формуле (5) последовательнои:

Складывая эти две формулы, получим

.

В силу непрерывности четвертой производной :

,

Откуда следует:

, т.е. формула (4) .

Замечание. Формулы (2), (3) и (4) называются формулами численного дифференцирования. При этом формула (2) аппроксимирует первую производную в узле правой конечной разностью и имеет порядок точности (т.е.первый порядок);

формула (3) аппроксимирует первую производную центральной конечной разностью и имеет порядок точности (второй порядок);

формула (4) аппроксимирует вторую производную в узле центральной конечной разностью и имеет порядок точности (второй порядок).

38. Задача Коши. Постановки задачи в одномерном случае для первой и второй производной. Сведение к системе уравнений с первой производной.

Задача Коши для ОДУ первого порядка для функции одной переменной ставится следующим образом:

(6)

Более общая постановка задачи Коши для дифференциального уравнения n-го порядка:

(7)

Здесь - заданные числа (начальные условия).

Задача (7) с помощью замены переменных

,

сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

(8)

Систему (8) можно переписать в векторном виде:

,

(9)

где введены следующие обозначения для векторов-столбцов:

, ,.