- •Численные методы
- •Содержание
- •Введение
- •1. Вычисление определенных интегралов Справочная информация
- •Формула средних прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона (j.Gregory(Грегори)1668,Th.Simpson1743)
- •Пример решения в среде Matlab
- •Контрольные задания
- •2. Решение нелинейных уравнений Справочная информация
- •Метод простых итераций Метод основывается на приведении исходного уравнения к форме
- •Относительная разница между значениями приближения корня на третьей и четвёртой итерациях составляет
- •Метод хорд
- •Пример решения на пэвм в среде Matlab
- •Контрольные задания
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений Справочная информация
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод простых итераций
- •О выборе метода решения систем уравнений
- •Пример решения на пэвм в среде Matlab
- •Контрольные задания
- •4. Интерполяция таблично заданных функций Справочная информация
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Пример решения на пэвм в среде Matlab
- •Контрольные задания
- •5. Аппроксимация таблично заданных функций Справочная информация
- •Пример решения на пэвм в среде Matlab
- •Контрольные задания
- •6. Решение задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка Справочная информация
- •Усовершенствованный метод Эйлера
- •Оценка погрешностей методов
- •Программное обеспечение
- •Пример решения на пэвм в среде Matlab
- •Контрольные задания
- •7. Решение задачи коши для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений высших порядков Справочная информация
- •Метод Эйлера
- •Усовершенствованный метод Эйлера
- •Оценка погрешностей методов
- •Пример решения на пэвм в среде Matlab
- •Контрольные задания
- •Приложение. Основы работы в среде matlab Интерфейс среды
- •Переменные и константы
- •Арифметические операторы
- •Операторы отношения
- •Логические операторы
- •Элементарные функции
- •Простейшие способы ввода–вывода информации
- •Векторы и матрицы
- •Оператор двоеточие «:»
- •Оператор разветвления if
- •Операторы циклов
- •Вывод информации в файл
- •Форматный вывод информации
- •Ввод данных из файла
- •Построение графиков
- •Сообщения об ошибках и исправление ошибок
- •Список литературы
6. Решение задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка Справочная информация
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка
с
Рис.1.
.
Такая постановка задачи отыскания решения дифференциальных уравнений называется задачей Коши (A.L.Cauchy, 1789–1857). Для существования единственного решения задачи Коши необходимо и достаточно существование и ограниченность правой части дифференциального уравнения f(x, y) и её частной производной f(x, y)/y в некоторой окрестности начальной точки (x0, y0).
Для
численного решения задачи Коши существует
множество методов, которые условно
делятся на две группы: одношаговые и
многошаговые. Все эти методы позволяют
получить искомое решение дифференциального
уравнения в виде таблично заданной
функции, в той или иной мере согласующееся
с истинным частным решением (см. рис.2).
Эти группы методов различаются объёмом
информации, которая
используется для вычисления координат
очередной точки табличной функции.
Одношаговые методы используют значения
функции и её производной только в одной
предыдущей точке, в то время как
многошаговые – в нескольких. К одношаговым
методам решения задачи Коши относятся
м
Рис.2.
Метод Эйлера (L.Euler, 1768)
Он является старейшим методом решения задачи Коши и заключается в последовательном применении следующих формул
,
, ,
г
Рис.3.
, .
Метод Эйлера относится к методам первого порядка точности, поскольку его решение совпадает с истинным только в том случае, когда последнее является линейной функцией y = a1+ a2x. Его абсолютная погрешность εабс(xk+1, h) на каждом шаге пропорциональна величине h2. Это обусловлено тем, что в качестве направления, определяющего положение следующей точки численного решения, используется касательная в левой точке каждого отрезка [xk, xk+1]. На рис.3 видно, что для получения более точного численного решения недостаточно знания параметров функции в единственной левой точке отрезка [xk, xk+1]. Требуется собрать дополнительную информацию о её поведении на отрезке интегрирования для отыскания решения при x = xk+1 с меньшей погрешностью. Для этого можно использовать некоторые промежуточные направления, определяемые касательными к графику неизвестного точного решения в характерных точках рассматриваемого отрезка (крайние точки, середина отрезка и т.д.).