Пример решения на пэвм в среде Matlab

x	y
0.00	1.40
0.16	2.07
0.31	2.81
0.47	3.03
0.63	3.62
0.79	3.54
0.94	3.58
1.10	3.39
1.26	2.91
1.41	2.02
1.57	1.44
1.73	0.57
1.89	0.19
2.04	–0.36
2.20	–0.35
2.36	–0.47
2.51	–0.45
2.67	–0.33
2.83	–0.41
2.98	0.08

Пусть дана таблица значений функцииудля дискретных значений аргументах. Необходимо аппроксимированть эту функцию гладкой зависимостью вида

.

Для этого найти вектор коэффициентов

минимизирующий сумму квадратов отклонений Fзначений аппроксимирующей функции от ординат узлов таблично заданной.

Поставленную задачу в среде Matlab’а можно решить с помощью встроенных функцийinlineиlsqcurvefit.

Функция inlineпозволяет описать аппроксимирующую функцию в символьном виде. У неё три параметра: формула для вычисления функции, имя вектора коэффициентов и имя вектора значений аргумента. Обращение к ней имеет вид:

fr= inline('формула','С','x')

Расчет коэффициентов аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов и остаточной суммы квадратов невязок производится с помощью встроенной функции lsqcurvefit. Она имеет четыре параметра: имя функции, заданное в символьном виде, вектор её коэффициентов, вектор значений абсцисс и вектор значений ординат таблично заданной функции. Функцияlsqcurvefitвозвращает вектор коэффициентов аппроксимирующей функции и сумму квадратов невязок.

Для построения графика аппроксимирующей функции вектор значений её аргумента можно задать в диапазоне от 0.0 до 3.0 с шагом 0.01. Для этих значений следует вычислить вектор значений аппроксимирующей функции и обратиться к функции plot.

Текст содержимого m-файла, выполняющего указанные выше операции, приведен ниже.

x=[0.0 0.16 0.31 0.47 0.63 0.79 0.94 1.10

1.26 1.41 1.57 1.73 1.89 2.04 2.20 2.36

2.51 2.67 2.83 2.98];

y=[1.40 2.07 2.81 3.03 3.62 3.54 3.58 3.39

2.91 2.02 1.44 0.57 0.19 -0.36 -0.35 -0.47 -0.45 -0.33 -0.41 0.08];

С=[1,1,1,1]; ←задание начальных значений коэффициентов

fr=inline('С(1)/(x-1)+С(2)*sin(x)+С(3)*sin(2*x)

+С(4)*sin(3*x)','С','x')

[g,F]=lsqcurvefit(fr,С,x,y)

x1=0:0.01:3.14159;

y1=g(1)/(x1-1)+g(2)*sin(x1)+g(3)*sin(2*x1)

+g(4)*sin(3*x1);

plot(x,y,'b S',x1,y1,'r-')

Результат решения задачи будет выведено в командное окно в виде числовой информации:

g =

0.0102 1.8589 2.2127 0.5951

F =

3.2346

и в графическое окно в виде рисунка (см. рис.4) с графиком аппрок-

Рис.4.

симирующей функции и последовательности точек, отображающей исходную таблично заданную функцию.

По результатам этого расчёта можно утверждать, что аппроксимирующая функция

описывает исходную таблично заданную функцию с минимально возможной суммой квадратов невязок 3.23. При норме таблично заданной функции это соответствует относительной погрешности аппроксимации.

Контрольные задания

Аппроксимировать экспериментальные данные, приведённые на графиках в количестве 20-ти точек (см. рис.5–14), функцией вида

.

Для её построения выбрать три функции из четырёх _i(x) (i = 1,2,3,4), заданных в таблице 1. Выбор функций осуществить из условия наилучшей аппроксимации. Обосновать свой выбор лучшего варианта. График аппроксимирующей функции и экспериментальные точки вывести на экран монитора. Записать в отчёт полученную формулу аппроксимирующей функции y.

1-3. Диаграмма испытаний на растяжение цилиндрического об­разца из нержавеющей стали 1Х18Н9Т.

4-6. Диаграмма избыточного давления в цилиндре четырехтактного двигателя в зависимости от угла поворота его вала.

Рис.6.

Рис.5.

7-9. Степень обогащённости га­зовой смеси карбюратора в зависимости от перепада давления на его диффузоре.

10-12. Уровень шума работы двигателя Д.3–28/АТ в зависимости от числа оборотов вращения его вала.

Рис.7.

Рис.8.

13-15. Зависимость мощности кар­­бюраторного двигателя 11Ф–615 от числа оборотов вращения его вала.

16-18. Вертикальное смещение передней части кузова автомобиля при переезде стандартной неровности при V = 50 км/час.

Рис.10.

Рис.9.

19-21. Зависимость амплитуды вертикальных колебаний передней части кузова автомобиля при переезде стандартной неровности от скорости его движения.

22-24. Упругая характеристика независимой подвески McCon­nell передних колес легкового автомобиля 405 Station Wagon (Peugeot, 1933).

Рис.11. Рис.12.

25-27. Перегрузка передней части кузова автомобиля в зависимости от частоты возбуждающей силы на подвеске передних колес.

28-30. Жёсткостная характеристика амортизатора подвески автомобиля Scorpio 2.9i V6–24V GHIA (Ford, 1963).

Рис.13.

Рис.14.

Таблица 1. Варианты функций ₁(x), ₂(x), ₃(x) и ₄(x), составляющих аппроксимирующую функцию.

Варианты 1–3 (Рис.6, ε0= 0.2)
1
2
3
Варианты 4–6 (Рис.7, φ0= 30о)
4
5
6
Варианты 7–9 (Рис.8, p0= 4 КПа)
7
8
9
Варианты 10–12 (Рис.9, n0= 200 об/мин)
10
11
12
Варианты 13–15 (Рис.10, n0= 800 об/мин)
13
14
15
Варианты 16–17 (Рис.11, t0= 1.2 сек)
16
17
18

Варианты 19–21 (Рис.12, V0= 20 км/час)
19
20
21
Варианты 22–24 (Рис.13, z0= 5 см)
22
23
24
Варианты 25–27 (Рис.14, ω0= 10 Гц)
25
26
27
Варианты 28–30 (Рис.15, V0= 0.2 м/сек)
28
29
30