Пример решения на пэвм в среде Matlab

Пусть надо интерполировать по пяти точкам таблично заданную функцию с помощью кусочно-линейной интерполяции, многчленом Лагранжа и кубическими сплайнами. Абсциссы узловых точек известны: х= 0.5; 1.5; 3.0; 4.0; 5.0, а их ординаты вычисляются как значения функции.

В случае кусочно-линейной интерполяции можно непосредственно воспользоваться соотношениями, приведёнными в этом разделе, и написать следующую программу

xk=[0.5,1.5;1.5,3;,3,4;4,5]  задание концов отрезков интерполяции

yk=cos(2*xk)-xk*exp(-xk^2)  вычисление значений функции на концах отрезков

for i=1:4

C(i)=(yk(i,2)-y(i,1))/(xk(i,2)-xk(i,1));

end

N=10;  задание числа промежуточных точек на каждом отрезке

for i=1:4  цикл расчёта значений интерполяционной функции

dx=(xk(i,2)-xk(i,1))/N;  вычисление шага по х

j=N*(i-1);  вычисление сквозного номера точки

xk1(j+1:j+11)=xk(i,1):dx:xk(i,2)  абсцисса i-й промежуточной точки

yk1(j+1:j+11)=yk(i,1)+C(i)*(xk1(j+1:j+11)-xk(i,1))

end

plot(xk1,yk1,'k --',x,y,'b s' ),grid  построение графика

При её запуске на выполнение в командном окне высвечиваются следующие данные

xk =

0.5000 1.5000

1.5000 3.0000

3.0000 4.0000

4.0000 5.0000

yk =

0.1509 -1.1481

-1.1481 0.9598

0.9598 -0.1455

-0.1455 -0.8391

а в графическом окне выводится изображение, показанное на рис.7, где интерполирующая кусочно-линейная функция построена черным пунктиром, а исходные узловые точки – голубыми квадратами

Рис.7.

Для реализации в среде Matlab’а интерполяции с помощью полинома Лагранжа надо сначала задать формулу для вычисления рассматриваемой функции и сохраним её вm-файле с именемfun:

function z = fun(x)

z=cos(2*x)-x.*exp(-x.^2);

Далее в новом m-файлeс именем, например,interpol.mследует обратиться к встроенной функцииpolyfit, которая с помощью соотношений для многочлена Лагранжа вычисляет значенияСкоэффициентов степенного многочлена

C=polyfit(X,Y,n).

Входными параметрами этой функции являются массивы XиY, содержащие координаты узловых точек, и степень полиномаn. Массив значений коэффициентов степенного многочлена имеет размерn+1.

Текст m-файла с программой для расчета многочлена и вывода графиков может иметь вид:

X=[0.5,1.5,3,4,5]

Y=fun(X);

C=polyfit(X,Y,4)

x1=0:0.1:5;

Y1=fun(x1);

Y2=C(5).*1+C(4).*x1+C(3).*x1.^2+C(2).*x1.^3+C(1).*x1.^4;

plot(X,Y,'b s',x1,Y2,'g-',x1,Y1,'r--')

Запуск m-файлаinterpol.mна выполнение позволяет получить в командном окне следующий результат:

C =

0.2093 -2.4794 9.6596 -13.6064 4.8361

а графическом окне (см. рис.8) изображение узловых точек (голубые квадраты), интерполируемой функции (красный пунктир) и интерполирующего степенного многогочлена (зелёная линия).

При необходимости интерполяции таблично заданной функции кубическим сплайном можно воспользоваться встроенной в среду Matlabфункциейcsape. Самый простой вариант обращения к ней выглядит следующим образом:

pp=csape(x,y)

где xиy– массивы со значениями абсцисс и ординат узловых точек. Функцияcsapeвозвращает структуруpp, содержащую информацию о построенном сплайне.

Рис.8.

По умолчанию, функция csapeнакладывает на сплайн следующие условия в граничных точках: значение производной сплайна в граничной точке совпадает со значением производной полинома третьей степени, проходящего через данную точку и ближайшие три.

Для иного задания условий в граничных точках есть несколько способов. Простейшие условия в граничных точках указываются при помощи дополнительного входного аргумента – строки:

• вторая производная на концах отрезка построения сплайна равна нулю

pp=csape(x,y,'variational');

• третьи производные сплайна на стыке двух крайних отрезков равны

pp=csape(x,y,'not-a-knot').

Третьим входным аргументом функции csapeможет быть не только текстовая строка, но и векторcondsиз двух элементов, содержащий значения 0, 1 или 2:

pp=csape(x,y,conds).

С помощью параметра condsреализуются более широкие возможности для постановки условий в граничных точках. Некоторые из них описаны ниже.

Если conds=[1 1], то на обоих концах отрезка интерполяции заданы значения первой производной сплайна. При этом возможны два вида обращения к функции csape:

• pp=csape(x,[A y B],[1 1]) – в этом случае считается, что на концах отрезка интерполяции числами A и B заданы первые производные: ;

• pp=csape(x,y,[1 1]) – в этом случае значение производной совпадает со значением первой производной полинома третьего порядка, построенного по узловым точкам с абсциссамиx₁, x₂, x₃ и x₄, а значение производной – со значением первой производной полинома, построенного по узловым точкам с абсциссамиx_n–3, x_n–2, x_n–1 и x_n.

Если conds=[2 2], то на обоих концах отрезка интерполяции заданы значения второй производной сплайна. При этом возможны два вида обращения к функции csape:

• pp=csape(x,[A y B],[2 2]) – в этом случае на концах отрезка интерполяции числами A и B заданы вторые производные: ;

• pp=csape(x,y,[2 2]) – в этом случае считается, что на концах отрезка интерполяции заданы нулевые вторые производные: и.

Если conds=[1 2], то на левой границе отрезка интерполяции задано значение первой производной сплайна, а на правой – второй производной. При этом возможны два вида обращения:

• pp=csape(x,[A y B],[1 2]) – на левой границе задана первая производная , а на правом – вторая производная;

• pp=csape(x,y,[1 2]) – в этом случае считается, что первая производная в левой точке отрезка интерполирования совпадает со значением первой производной полинома третьей степени в этой точке, построенного по абсциссам узловых точекx₁, x₂, x₃ и x₄, а в правой точке – задана нулевая вторая производная .

Если conds=[2 1], то аналогично предыдущему случаю, на левой границе отрезка интерполяции задано значение второй производной сплайна, на правой границе – первой производной.

Функция csapeвозвращает структуруpp, содержащую информацию о построенном сплайне. Эта структура имеет следующие поля:

• form – форма сплайна. Его значение pp говорит о том, что сплайн строится в полиномиальной форме;

• breaks – массив абсцисс узловых точек. В рассматриваемом примере заданы пять узловых точек с абсциссами 0.5, 1.5, 3.0, 4.0 и 5.0, и сплайн будет составлен из 4-х полиномиальных частей;

• coefs – массив коэффициентов сплайна, каждая строка которого содержит коэффициенты его полиномиальных частей. В рассматриваемом примере это будет массив размером 4×4, так как на каждом из 4-х отрезков между узловыми точками используется кубический полином с 4-мя коэффициентами;

• pieces – число полиномов, составляющих сплайн (в данном случае 4);

• order – порядок сплайна (в данном случае 4, так как порядок равен степени кубического полинома плюс 1, иными словами он равен числу коэффициентов кубического полинома);

• dim – размерность (в данном случае 1).

Для интерполяции заданной табличной функции сплайном можно воспользоваться простейшей формой записи функции csape. С этой программу интерполяции заданной функции многочленом Лагранжа следует дополнить следующими командами:

pp=csape(X,Y)  вычисление параметров сплайна

D=pp.coefs  вывод коэффициентов сплайна (массив 4*4)

hold on  оператор для вывода графика в то же окно, что и ранее

for i = 1:4  цикл для вычисления значений сплайна на каждом из 4-х отрезков

X2 = X(i):0.01:X(i+1);

P=polyval(D(i,4),(X2-X(i));  вычисление значений сплайна на каждом отрезке

h=plot(X2,P,‘LineWidth’,2);  построение графика сплошной линией толщины 2

end

Запуск её на выполнение даёт в командном окне следующий результат:

pp =

form: ‘pp’

breaks: [0.5000 1.5000 3 4 5]

coefs: [4x4 double]

pieces: 4

order: 4

dim: 1

D =

-0.4603 3.0320 -3.8706 0.1509

-0.8372 1.6510 0.8123 -1.1481

0.8964 -2.1162 0.1145 0.9598

0.1622 0.5730 -1.4287 -0.1455

При этом в графическом окне (см. рис.9) строятся четыре графика:

Рис.9.

исходная функция – красный пунктир, многочлен Лагранжа – зеленая сплошная линия и кубический сплайн – синяя сплошная линия.