1. Статическая сторона задачи.
Первое и третье условия удовлетворялись тождественно. Таким образом, рассмотрение статической стороны задачи приводит к одному уравнению с двумя неизвестными
R1+R2=P (а)
Следовательно, данная задача один раз (S=2-1=1) статически неопределима и для ее решения нужно составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные R1 иR2.
Рис.2.45
2. Геометрическая сторона задачи.
Установим связь между деформациями участков длиной l1 и l2.
В случае неразрывности участок длинной l2 укоротится на столько, насколько растянется участок длиной l1:
(b)
Это и есть условие совместности, выраженное в деформациях.
3. Физическая сторона задачи.
Для совместного решения (а) и (b) нужно, пользуясь законом Гука, выразить деформации (b) через усилия:
а
т. к. N1=R1 и N2=R2
то 
отсюда 
(с)
4. Определение неизвестных.
Решая (с) совместно с (а) получим:
Определив реакции опор, используя метод сечений, можно вычислить внутренние продольные силы. Эпюра продольных сил представлена на рис. 2.36, б.
5. Энергетическая проверка.
Работа А внешней
силы Р на
перемещении 
равна
сумме потенциальной энергии
деформации U верхней
и нижней частей стержня: А=U
тогда 
Учитывая,
что 
получим 
или 
т. е. равенство удовлетворяется.
Пример 19.
Определить
продольные силы в стержнях, на которых
подвешена абсолютно жесткая балка 
,
нагруженная силой 
(рис.2.46, а).
Стержни изготовлены из одного материала
и имеют одинаковые площади поперечного
сечения. Длины стержней равны 
; 
; 
.
Рис.2.46
Решение.
Используя метод сечений, рассечем стержни и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис.2.46, б). Составляем уравнение равновесия сил
; 
;
.
Так как неизвестных сил три, а уравнений равновесия два, система один раз статически неопределима. Для решения задачи нужно составить одно уравнение совместности перемещений.
Рассмотрим
геометрическую часть задачи. Так как
балка 
по
условию задачи абсолютно жесткая, то в
результате удлинения стержней она
переместится вниз и повернется на
некоторый угол, оставаясь прямолинейной.
Положение системы после деформации
стержней показано штриховыми линиями
на рисунке 2.46, а.
Составим
уравнение, связывающее перемещение
сечений 
, 
и 
стержней
,
откуда
.
Используя закон Гука, выразим перемещения через силы, действующие на стержни
или 
.
Решив полученное уравнение перемещений совместно с уравнениями равновесия, найдем
; 
; 
.
Пример 20.
Определить продольные силы, возникающие в стержнях системы (рис.2.47, а). Материал, площади поперечных сечений и длины всех стержней одинаковы.
а) б)
Рис.2.47
Решение.
Применив
метод сечений, вырезаем узлы 
и 
и,
заменив действие отброшенных частей
системы силами (рис.2.47, б),
составляем уравнения равновесия сил
для каждого узла
для
узла 
,
откуда 
;
;
для
узла 
,
откуда 
;
.
Имеем четыре уравнения равновесия и пять неизвестных сил, следовательно, система один раз статически неопределима.
Рассмотрим
геометрическую сторону задачи. При
нагружении системы силой 
все
ее стержни растягиваются и
деформированная система занимает
положение, показанное штриховыми линиями
на рисунке 2.47, а.
Если
бы стержень 3 был
абсолютно жестким, то при деформации
системы перемещения узлов 
и 
были
бы одинаковыми. Так как стержень 3 растягивается,
перемещение узла 
больше
перемещения узла 
на
удлинение этого стержня
.
Из схемы, представленной на рисунке 2.47, а, находим соотношение между перемещениями узлов и деформациями стержней
; 
.
Запишем уравнение перемещений через деформации стержней
.
Используя закон Гука, выразим деформации стержней через действующие в них продольные силы
или
.
Решив полученное уравнение совместно с уравнениями равновесия, находим
; 
; 
.
Пример 21.
Определить усилия в стержнях системы, возникающие в результате действия силы Р. Деформациями массивной балки АС пренебречь, рис.2.48.
Дано: E1=E2=E3=E; F1=2F2=2F3=2F; l1=l; l2=1,2l; l3=1,6l
Рис.2.48
Решение.