Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

тимизируемой функции [16]. Одним из вариантов симплексного метода является метод деформируемого многогранника. В этом методе симплекс задан не жестко, а может подстраиваться под топографию целевой функции, деформироваться, сжимаясь в окрестности оптимума и растягиваясь вдоль оврагов [21]. Этот метод позволяет без введения каких-либо приближений и допущений найти оптимальные параметры каскада с использованием общих конечноразностных уравнений. При этом для поиска оптимальных параметров каскада методом деформируемого многогранника путем минимизации суммарного потока каскада в качестве начального приближения могут быть выбраны параметры идеального каскада.

Расчеты показывают, что при фиксированных внешних параметрах, определенных по идеальному каскаду с симметричными условиями работы ступеней ( α = β ), и одинаковых внутренних

параметрах N и f идеальный каскад с симметричными ступенями и оптимальный каскад идентичны [16] для значений q , несиль-

но отличающихся от единицы. Другая картина имеет место, если в расчете параметров оптимального каскада получаются меньшие

наилучшие значения N и f , чем для идеального каскада [22]. В

этом случае коэффициенты разделения ступеней q>>1 и степень разделения каскада Q>>1. Суммарный поток такого оптимального каскада меньше, чем идеального каскада с симметричными ступенями, а изменение параметров α и β по каскаду соответствует

формуле (1.67). Таким образом, при высокой степени разделения каскада и больших коэффициентах разделения ступеней идеальный каскад с симметричными степенями не обладает свойством оптимальности.

Данный случай работы разделительного каскада соответствует очистке ценного компонента от примесей и получению высококонцентрированных изотопов. Для производства низкообогащенного урана (cP<<1) получаемые при оптимизации значения N и f для

оптимального каскада не отличаются от идеального с симметричными ступенями. Поэтому такой идеальный каскад можно считать оптимальным. Однако его нельзя построить для любых заданных значений cP и cW . В этом случае можно рассчитать соответствующий идеальный каскад с несимметричной работой ступеней. Как

72

показывает сравнение с аналогичным оптимальным каскадом, их параметры существенно отличаются даже при одинаковых N и f .

В табл. 1.3 приведены значения параметров оптимального каскада для разделения изотопов урана, рассчитанных для тех же исходных данных, что и для идеального каскада из несимметричных ступеней.

*Точка подачи внешнего питания.

Относительный суммарный поток оптимального каскада равен ∑Ls / P =185,03, сумма относительных разделительных способно-

s

стей (мощностей) всех ступеней каскада ∑δUs / P =4,926, что не

s

намного больше, чем в случае идеального каскада. Однако среднее значение удельной разделительной способности

73

Суммарный поток идеального каскада можно оценить через разделительную способность каскада, вычисляемую по формуле

U = PV (cP ) +WV (cW ) − FV (cF ) ≡ ∑(δU S )ид ,

S

отнесенную к среднему значению (по ступеням каскада) удельной

Аналогично можно вычислить суммарный поток смешивающего

марных потоков в идеальном и оптимальном каскадах будет равно

Величина параметра η в рассматриваемом случае равна 0,973, а

отношение средних удельных разделительных способностей в оптимальном и идеальном каскадах составляет 1,667. Это и приводит к тому, что в идеальном каскаде величина суммарного потока больше, чем в оптимальном каскаде на 60%.

Отличие параметров крайних ступеней оптимального каскада от параметров остальных ступеней связано с необходимостью выпол-

нения граничных условий c1′′= cW и c′N = cP .

1.8. Идеальный каскад с потерями [1]

Химическая стойкость является одним из главных требований, предъявляемых к рабочему веществу, в состав которого входят разделяемые изотопы. Вместе с тем многие рабочие газы подвержены частичному разложению в процессе разделения. Например, при разделении изотопов урана рабочий газ UF6 разлагается при взаимодействии с парами воды, которые попадают в разделительный аппарат вместе с натекающим воздухом с образованием твердых соединений урана. При разделении изотопов других химических элементов может происходить термическое разложение рабо-

75

чего вещества, локализованное в местах с повышенной температурой (например, на ударной волне при сверхзвуковом обтекании устройств для отбора обогащённой и обеднённой фракций из газовой центрифуги), как это имеет место при разделении изотопов кадмия в виде диметила кадмия Cd(CH3)2 [23-25].

Теория идеального каскада с потерями, в случае «слабого обогащения», разработанная К.Коэном [1], позволяет оценить вызываемое этими потерями увеличение суммарного потока в разделительной установке.

Как правило, потери пропорциональны производительностям ступеней каскада и могут быть представлены в виде произведения

yLs , где y – коэффициент пропорциональности, который обычно принимают постоянным для всех ступеней каскада, причем y << 1 .

Рис. 1.12. Схема разделительной ступени каскада при наличии потерь рабочего вещества. Gi,s , Gi',s , Gi",s -потоки i -го компонента ( i = 1, 2 ) на входе, в обогащенной и обедненной фракциях соответственно

Если коэффициенты разделения α, β и q = α β постоянны, не-

трудно убедиться, что при этом для потоков первого и второго компонентов должны выполняться следующие соотношения:

76

С другой стороны в идеальном каскаде, состоящем из симмет-

Уравнение баланса для потоков ценного изотопа на входе в s - ую ступень симметричного каскада с учетом потерь и очевидного

Подстановка соотношения (1.184) в равенство (1.186) приводит

где ω1 и ω2 являются корнями характеристического (квадратного) уравнения

и имеют вид

77

где sp – номер ступени, из которой берется отбор.

Разрешая систему (1.192) – (1.193) относительно A и B и под-

и, следовательно, разностное уравнение для нахождения потока G2' ,s может быть представлено в виде:

Решение уравнения (1.196) имеет вид, аналогичный (1.194) с за-

1

меной величины α на α в соотношениях (1.190) и (1.191) и вели-

чины cP на 1 − cP . В результате имеем

78

Рассмотрим пример расчёта идеального каскада с потерями без обеднительной секции. Определим, что на вход в нулевой ступени подаётся поток с относительной концентрацией ценного изотопа

R0 . Тогда для произвольной ступени с номером s будут выполняться следующие соотношения:

Поток на входе в произвольную s -ую ступень получим суммированием всех входных потоков компонентов

том (1.199), (1.200), (1.201) и (1.202), после алгебраических преоб-

разований получим выражение для потока на s-й ступени каскада:

Суммируя (1.204) по всем ступеням идеального каскада, имеем