Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

.pdf

Скачиваний:

179

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

6.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Как известно, при использовании метода ортогональной коллокации решение дифференциального уравнения ищется в виде полинома или ряда. В качестве аппроксимирующего оператора можно использовать интерполяционный многочлен Лагранжа [8], который для отборной части каскада может быть записан следующим образом

					n
			ciII (s) = ∑ciII,k ZkII (s), i = 1, 2,..., m			(2.69)
				Pn (s)	k =1
где:	Z II (s) =			Pn (s)	– многочлен Лагранжа степени (n −1);
где:	Z II (s) =			P(1) (s)	– многочлен Лагранжа степени (n −1);
	k			P(1) (s)
				n
Pn (s) = (s − s1 )(s − s2 )...(s − sn ) – узловой полином						степени
n;
P(1)	(s) – производная узлового полинома степени n;
n
sk (0 ≤ s ≤ sP ,				k = 1, 2,..., n) – точка коллокации;
cII	= cII (s	k	),	i =1, 2,..., m – соответствующая ордината точки
i,k	i	k

коллокации.

Если без ограничения общности принять, что числа точек коллокации n, выбранные для отборной и отвальной части каскада одинаковы, то тогда для отвальной части многочлен Лагранжа, оп-

ределяющий cI (s) , имеет вид
i
n
ciI (s) = ∑ciI,k ZkI (s), i = 1, 2,..., m .	(2.70)

k=1

Вкачестве точек коллокации для достижения наибольшей точности расчетов целесообразно использовать действительные нули ортогональных многочленов, а необходимые n точек коллокации

определять следующим образом:			если	k = 1,	то sk = 0; если
		sν (Χk +1)			ν
k = 2,..., n −1, то sk	=		; если k = n , то sk = s, где s
k = 2,..., n −1, то sk	=	2	; если k = n , то sk = s, где s
		2
– число ступеней в	соответствующей			части	(секции) каскада,

181

[2(n −k) −1]π
Χk = cos	2(n −2)	– нули ортогонального многочлена

Чебышева степени ( n −2 ).

Условия (2.67) и (2.68) применительно к методу ортогональной коллокации можно записать в виде

s II

= 0, cI

(s II ) = c

i, f

; s II = s

, c II

) = c

;

i,1

i,n

s I

= 0, cI

(s I

) = c

;

s I

= s

, c I

) = c

i, f

, i =1, 2,..., m . (2.71)

i,1

i,n

Учитывая,

что Zk (s j ) = 0 при k ≠ j, Zk (s j ) = 1 при k = j , и

подставляя формулу (2.69) в систему (2.63) для произвольной точки коллокации sr , получим

n		(s	)	(1)	=cII
cII Z II		(s	)	(1)	=cII
∑ i,k	k	r			i,r
k =1
i =1,	2,	..., m;			r =

2P		m
	L	+∑ε
	L	j=1
		1,

II	+	2P	II	,
ijcj,r	+	L	ci,n	,
		L		(2.72)

2, ..., n,

где

Z II (s

)

(1)

Pn(2) (sr )

– производная многочлена Лагранжа в

(1)

(sr )

2Pn

точке sr .

Аналогично для отвальной части каскада:

Z I

)

(1) =cI

− 2W +

m ε

2P cI

∑ i,k

i,r

∑

j,r

i,n

(2.73)

k =1

j=1

i =1, 2,..., m; r =1, 2,..., n.

Из уравнений материального баланса (2.43) и условий выбора точек коллокации (2.71) следуют выражения, объединяющие сис-

темы (2.72) и (2.73) в одну

Fc	= PcII	+WcI	, cI	= cII	, i =1, 2, ..., m.	(2.74)
iF	i,n	i,1	i,n	i,1

Таким образом, система дифференциальных уравнений (2.63), (2.64) сведена к системе нелинейных алгебраических уравнений с (2n −1) неизвестными для определения концентраций компонен-

тов разделяемой смеси в точках коллокации, следовательно, и в потоках отбора и отвала каскада. С использованием квазилинеаризации, предложенной в работе [9], эта нелинейная система сводится

182

к системам линейных уравнений: вместо одной нелинейной системы с (2n −1)m неизвестными решают m линейных систем с

(2n −1) неизвестными, постоянно уточняя искомую концентра-

цию в итерационной процедуре.

При расчете прямоугольно-секционированных каскадов к выражениям (2.72), (2.73) необходимо добавить одну или несколько таких же нелинейных систем (по числу секций) и условия сшивки на границах секций, аналогичные условиям в сечении ввода потока питания. Анализ вычислительных свойств МОК показывает, что данный метод малочувствителен к заданию начальных приближений* и по сравнению с традиционными методами позволяет сократить время расчета ПК и ПСК (примерно в 5 раз).

2.3.3. Метод квазилинеаризации [7, 10, 11]

Суть данного метода состоит в следующем. Для симметричного каскада с внешними потоками F, P и W с соответствующими кон-

центрациями ciF , ciP и ciW в случае «сквозного» расчета числа

ступеней от точки отвала (s = 0)		до точки отбора (S = SW + SP )
уравнения (2.63), (2.64) могут быть записаны в виде:
для отборной части каскада (SW ≤ s ≤ SW + SP ) :
		m
dci (s)	= − 2P (ciP −ci (s)) + ci (s)∑εijcj ,		(2.75)
ds	L	j=1

i = 1, 2,..., m.

для отвальной части каскада (0 ≤ s ≤ SW ) :

dci (s)		2W		m
dci (s)	=	2W	(ciW	−ci (s)) + ci (s)∑εijcj ,	(2.76)
ds		L		j=1

i = 1, 2,..., m.

сграничными условиями

*При реализации МОК удобно использовать в качестве начальных приближений концентрации компонентов в потоке питания каскада.

183

ci (SW + SP ) = ciP , ci (0) = ciW .

(2.77)

Замыкают систему (2.75) - (2.76) уравнения баланса внешних потоков по каскаду (2.43).

При расчете ПСК условия перехода от секции к секции выражаются в виде непрерывности концентраций компонентов на стыке двух соседних секций. Метод квазилинеаризации состоит в сведении системы (2.75), (2.76) к линейной системе путем вычисления

члена ci ∑εij c j с использованием значений концентраций, полу-

j =1

ченных на предыдущей итерации. Кроме того, при решении квазилинеаризованной системы в качестве неизвестных целесообразно

принять отношения			ci	для обогатительной (отборной) части кас-
принять отношения			c	для обогатительной (отборной) части кас-
			c
			iP
када и	ci	для обеднительной (отвальной) части каскада. Это по-
када и	c	для обеднительной (отвальной) части каскада. Это по-
	c
	iW

зволяет исключить неизвестные граничные условия из уравнений каскада. Указанные выше подстановки приводят уравнения (2.75),

(2.76) к квазилинеаризованной форме, в которой отношения			ci	и
(2.76) к квазилинеаризованной форме, в которой отношения			c	и
			c
			iP
	ci	на концах каскада (т.е. новые граничные условия) равны еди-
	c	на концах каскада (т.е. новые граничные условия) равны еди-
	c
	iW

нице:

для отборной части каскада:

	ν			m
	dci (s)	= − 2P		(cνiP −cνi (s)) + cνi (s)∑εij cνj −1 (s),
	ds	= − 2P		(cνiP −cνi (s)) + cνi (s)∑εij cνj −1 (s),
	ds		L	j=1
			i = 1, 2,..., m.
для отвальной части каскада:
	ν			m
	dci (s)	=	2W (cνiW −cνi (s)) + cνi (s)∑εij cνj		−1 (s),
	ds	=	2W (cνiW −cνi (s)) + cνi (s)∑εij cνj		−1 (s),
	ds		L	j=1

i= 1, 2,..., m.

сграничными условиями

184

(2.78)

(2.79)

	cν (0)		=1,		cν (s + s	P	)	=1.
	i				i W	P			(2.80)
	ν				ν				(2.80)
	c				c
	iW				iP
В уравнениях (2.78),		(2.79)		верхний индекс ν					означает номер

текущей итерации.

Дальнейший расчет состоит в вычислениях этих отношений по ступеням каскада, например, от концов каскада к точке подачи по-

тока питания. Для системы (2.78), (2.79) отношения ci (s) ci,P и

ci (s) ci,W определяются по следующим формулам:

для отборной части каскада:

c (s) ν

1+ ∫P

Miν (t)dt

(2.81)

ciP

(s)

ν −1

Mi (s) = exp

∫

+∑

εijcj

(t) dt ,

(2.82)

j=1

для отвальной части каскада:

c (s) ν

1+ ∫P

Miν (t)dt

(2.83)

ciW

(s)

ν −1

Mi (s) = exp

∫

−∑

εij cj

(t) dt ,

(2.84)

j=1

i = 1, 2,..., m.

Расчет интегралов в формулах (2.81) и (2.83) целесообразно проводить с помощью локальных сплайнов пятого или седьмого порядка [16].

После нахождения этих отношений для определения концентраций в потоках отбора и отвала каскада и распределения концентраций по ступеням каскада следует использовать условие непрерыв-

185

ности концентраций в точке

подачи питания и уравнения

покомпонентного баланса.

В работе [7] в качестве

L1 / P = 4000

иллюстрации

применения

= 20

= 100

метода приведен расчет кас-

када для обогащения изотопа

L2 / P = 4000

18O методом низкотемпера-

турной ректификации оксида

= 200

азота в предположении от-

сутствия внутрифазного изо-

топного обмена.

Схема 3-секционного кас-

= 2000

када и значения параметров

для каждой его секции при-

ведена на рис. 2.3. За отбор-

= 300

ный конец каскада в данном

примере принят «тяжелый»

конец каскада.

Исходные данные и ре-

зультаты расчета концентра-

ций на концах каскада при-

ведены в табл. 2.1.

Результаты

тестирования

Рис. 2.3. Схема ректификационного

данного метода показывают

равномерную

сходимость

ПСК

итерационного процесса и нечувствительность к начальным приближениям независимо от концентраций в потоке питания, величин потоков и других параметров каскада. При сравнении методов расчета каскадов наиболее корректным критерием являются затраты времени на расчет при заданной точности.

Результаты сравнения рассмотренных выше методов (МОК и метода квазилинеаризации – МК) представлены на рис. 2.4 и 2.5. как отношение времени расчета ПСК, изображенного на рис. 2.3,

методом ортогональной коллокации TМОК к времени расчета того

же каскада методом квазилинеаризации TМК от числа ступеней в каскаде и относительной погрешности соответственно.

186

Концентрации компонентов

Таблица 2.1

на концах ректификационного ПСК [7]

Компо-

14N16O

14N17O

15N16O

14N18O

15N17O

15N18O

нент

εij

0,0

0,017

0,025

0,034

0,042

0,059

ciF

0,9939488

3,6865·10-4

3,6412·10-3

2,0325·10-3

1,35·10-6

7,45·10-6

ciP

0,8940

5,1524·10-3

6,2380·10-3

3,8293·10-2

2,6326·10-5

3,4841·10-4

ciW

0,99921

3,1688·10-4

3,4968·10-4

1,2412·10-4

3,548·10-8

3,1114·10-8

Из рис. 2.4 следует, что с уве-

личением числа ступеней в кас-

каде отношение

TМОК /TМК

бы-

TМОК

стро возрастает. Это может быть

TMK

объяснено увеличением числа

точек коллокации в МОК, необ-

ходимого для достижения задан-

ной точности, что приводит к

s / s0

быстрому росту времени расче-

Рис. 2.4. Зависимость отношения

та.

Последнее

обстоятельство

TМОК от длины каскада при точно-

вызвано кубической пропорцио-

TMK

нальностью времени расчета од-

сти 10-5 [7]

ной итерации от числа точек коллокации, в то время как в МК оно пропорционально числу сту-

пеней. Из другой зависимости, представленной на рис. 2.5, можно заключить, что порядок аппроксимации целесообразно выбирать в соответствии с требуемой точностью. Так, при точности ~10-5 наиболее эффективно использовать аппроксимацию пятого порядка, при большей – седьмого порядка. Практически использование аппроксимации более высокого порядка не имеет смысла, поскольку точность расчета выше 10-6÷10-7 находится за пределами математической модели переноса многокомпонентной смеси в каскаде. На-

187

Рис. 2.5. Зависимость отношения TМОК от относительной погрешно-

TMK

сти δ : для аппроксимации 5-ого и 7-ого порядков (соответственно кривые 1 и 2) [7]

личие максимумов на представленных зависимостях объясняется тем фактом, что время расчета

МОК - TМОК пропорционально (−lg δ)3 , а для метода квазилинеаризации

TМК ~ exp(−lg(δ) / p) , где p -

порядок аппроксимации.

Метод квазилинеаризации привлекателен независимостью от задания начального приближения для концентраций компонентов, быстрой и устойчивой сходимостью итерационной процедуры, слабой зависимостью времени расчета от числа компо-

нентов, числа ступеней и требуемой точности определения концентраций компонентов по сравнению с другими методами.

2.3.4.Модельные каскады.

Анализ прямоугольно-секционированного каскада на основе модельных каскадов

2.3.4.1.Q-каскады («свободные» каскады) и их свойства [2, 3, 12]

Расчет каскада (ПСК или ПК) по заданной величине отбора и ограничениям диапазона концентраций ключевого (целевого) компонента в потоке отбора и отвала заключается в определении следующих его параметров: число, длина и потоки секций, потоки питания F и отвала W. При этом параметры каскада должны быть такими, чтобы они соответствовали оптимальному значению того или иного критерия эффективности. Как и в случае разделения бинарных смесей, при решении данной задачи целесообразно использовать в качестве предварительной модели такие каскады непрерывного профиля (КНП), теория которых позволяет аналитически определить длины обогатительной (отборной) и обеднительной (отвальной) частей каскада, распределение потока L(s) и концен-

188

траций компонентов ci (s) по длине каскада при заданных значе-

ниях потока отбора P и концентраций ключевого (целевого) компонента в потоках отбора и отвала. Дальнейший расчет каскада сводится к аппроксимации полученного модельного каскада пря- моугольно-секционированным или прямоугольным и его оптимизации.

Общий метод расчета модельных каскадов, основан на использовании соотношений, полученных В.Бирюковым [3], Р.Кучеровым и В.Миненко [2] путем замены переменных в уравнениях (2.63), (2.64). Суть перехода на примере отборной части каскада непрерывного профиля состоит в следующем. Из уравнения для компонента i последовательно вычтем уравнения для остальных компонентов, в результате чего получим (m −1) – уравнение типа

d ln ci (s)	− d ln ck (s)	=εik −	2PciP	+	2PckP	. (2.85)
			L(s)ci (s)		L(s)ck (s)
ds	ds

Уравнение (2.85) вместе с тождеством (2.1) образует полную систему для определения концентраций компонентов. Легко показать, что системы дифференциальных уравнений (2.63) и (2.85) при условии (2.1) эквивалентны. Если воспользоваться соотношениями

(2.5), (2.8) и произвести замену s = SP −l , где l – новая переменная, то уравнения (2.85) можно переписать в виде

d ln Gi

−

d ln Gk

= −εik

2PciP

−

2Pcik

(2.86)

Заменяя

d ln Gi

2PciP

−

d ln G

(2.87)

приводим уравнения (2.86) к виду

= −εik .

(2.88)

В результате получаем

i (l)

k (l)

exp(−εik s) .

(2.89)

Gi (0)

Gk (0)

189

Решение линейного дифференциального уравнения (2.87) при граничном условии Gi (0) = Gi0 имеет вид

(l)

(0)

Gi (l) =

Gi0

+ 2PciP ∫

dt .

(0)

(t)

Введем обозначение

ϕi (l) = Gi (0) ,

Gi (l)

(2.90)

(2.91)

с помощью которого запишем уравнения (2.90) и (2.89) соответственно

Gi (l) ϕi (l) = Gi0 + 2PciP ∫l					ϕi (t)dt ,	(2.92)
			0
ϕi (l) =ϕk (l) exp(εik l) .						(2.93)
Суммируя в (2.92) по i с учетом (2.89) и (2.93), находим
m		2Pc	l
Gi (l)φi (l) = Gi0 +∑		iP

		L(l)	∫φi (t)exp εij	(t −l ) dt =
j=1		L(l)	0			(2.94)
= ∑ ci (0) L (0) exp	(−εijl ),					(2.94)
m

j=1 L(l)

где L(0) и ci (0) = ciP − поток и концентрации на отборном конце

каскада при l = 0.

Таким образом, суть перехода состоит в том, что концентрации ci (l) заменяются функциями ϕi (l) , а система уравнений (2.63) при непрерывной функции L(l) приводится к интегральному уравнению Вольтерра с вырожденным ядром [16] и (m −1) алгебраическому соотношению для функций ϕi (l) . В соответствии с (2.92) функции ϕi (l) связаны с концентрациями и потоком в каскаде соотношением

		l
Gi (l) = L(l)ci (l) =	L(0)ciP	+ 2PciP ∫ϕi (t)dt
		0	.	(2.95)
		ϕi (l)	.	(2.95)
		ϕi (l)
190

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2013591.64 Кб15Болотская Методическое пособие по исползованию кодов обработки 2010.pdf
#
16.08.20137.71 Mб106Болятко Екология ядерной и возобновляемой енергетики 2010.pdf
#
16.08.20135 Mб467Болятко Основы екологии и охраны окружаюсчей 2008.pdf
#
16.08.20133.44 Mб994Болятко Сборник задач по курсу Основы екологии 2007.pdf
#
16.08.20134.98 Mб404Бондарев Физическая засчита ядерных обектов 2008.pdf
#
16.08.20136.3 Mб179Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011.pdf
#
16.08.20139.88 Mб202Борман Теория разделения изотопов 2007.pdf
#
16.08.20136.78 Mб581Борман Физические основы методов исследования 2008.pdf
#
16.08.20133.87 Mб111Борог Основы мюонной диагностики 2008.pdf
#
16.08.20133.26 Mб196Бочаров Проектирование БИС класса система на кристалле 2008.pdf
#
16.08.201325.25 Mб130Боярчук Прикладная ядерная космофизика 2007.pdf