Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

q, N, f , cF и β1 (θ1 ) (I, II и IV типы идеального каскада) расчет каскада (нахождение распределений L(s), θ(s) è c(s) , включая концентрации cP и cW ), труда не представляет. Причем для III-го типа величины cP и cW не зависят от β1 , т.е. в отношении выбора коэффициента деления потока θ1 существует произвол. При этом при варьировании β1 (или θ1 ) будут меняться распределения β(s) и θ(s) , а вместе с ними и эффективность работы каждой разделительной ступени. Поэтому логично выбирать значение β1 (θ1 ) из

условия оптимальности работы ступеней идеального каскада, которое выполняется при условии минимальности относительного сум-

марного потока в каскаде ∑L* / P = min .

Как видно из приведенной зависимости на рис. 1.11 для случая с<<1 минимальный суммарный поток в идеальном каскаде III-го типа, рассчитанном для следующих значений параметров:

N = 9, f = 2, cF = 0,711%, cP = 4,4%, cW = 0, 45%, q = 1,6 , соот-

ветствует случаю, когда он построен из симметричных ступеней, то есть θ1 = 1( q +1).

Рис. 1.11. Зависимость относительного суммарного потока в идеальном каскаде от величины θ

61

При расчете каскадов I, II и IV типов с изменением коэффициента деления потока на первой ступени θ1 будет меняться не только величина суммарного потока в каскаде, но и величины концевых концентраций ( cW - в каскаде I-го, cP и cW – в каскаде II-го и cP – в каскаде IV-го типа). Для этих типов идеального каскада каждому значению β1 (θ1 ) соответствует свой идеальный каскад. Расчеты

показывают, что и в этом случае из семейства всех возможных идеальных каскадов наименьший суммарный поток будет в каскаде, в

котором выполняется условие β1 = q , т.е. в каскаде из симмет-

ричных элементов.

Задача расчета идеального каскада заметно усложняется в том случае, когда заданы величины q, cP , cW и cF , а требуется найти кроме распределений L(s), θ(s) и c(s) по ступеням каскада так-

же общее количество ступеней N и номер ступени f, в которую подают поток питания. В этом случае решение задачи следует начать с поиска типа идеального каскада, способного обеспечить в выход-

ных потоках значения заданных концентраций cP и cW . Решая

систему (1.147) из двух алгебраических уравнений при заданных значениях концентраций и величине коэффициента разделения q, находим величины N и f. При целочисленных значениях N и f дальнейший расчет идеального каскада из симметричных ступеней труда не представляет. При дробных значениях N и f необходимо подобрать тот тип идеального каскада, который при соответствующем подборе целочисленных величин N и f, а также коэффициента

деления потока θ1 обеспечит величины концентраций в выходных

потоках, которые будут ближе всего к заданным.

Например, для идеального каскада типа IV при q=1,59 и cF = 0,71%, cP = 4,4% , а также N=9, f=3 получены следующие

значения параметров (табл. 1.2) [19]. Величина концентрации ценного компонента в отвале при этом получается равной 0,44%.

В рассмотренном примере в идеальном каскаде из несимметричных разделительных элементов коэффициент деления потока и удельная разделительная способность пилообразно меняются от ступени к ступени. Нечетные ступени в каскаде имеют значения

62

θs = 0,118 и δUs / L*s =1, 48 10-2, а четные – θs = 0,981−0,982 и δUs / L*s =1,71 10-2.

Относительный суммарный поток в таком каскаде равен ∑L*s / P =299,99, а сумма относительных разделительных способ-

s

ностей (мощностей) всех ступеней каскада, то есть разделительная способность каскада в целом равна ∑δUs / P =4,793. Среднее зна-

s

*Точка подачи внешнего питания.

В идеальном каскаде из симметричных ступеней суммарный поток может быть рассчитан с помощью простого аналитического

63

(1.146) и (1.147), а также очевидное соотношение Rs = 1−cscs . В

результате формулы (1.151) и (1.152) приобретут вид: для отборной части каскада

Если разделить левую и правую части (1.159) на первый множитель в правой части, то получим

65

Правая часть выражения (1.160) по форме записи соответствует полезной разделительной способности каскада, введенной в п. 1.5. В левой части (1.160) под знаком суммы стоит величина, которую можно интерпретировать как разделительную способность симметричной разделительной ступени

Если все ступени каскада состоят из идентичных элементов, то

P, cP , cW ? Другими словами, является ли в данном случае «иде-

альный каскад» «оптимальным каскадом»? Используя аналитические подходы, ответить на этот вопрос невозможно.

66

1.7.Оптимизация каскада с заданными внешними концентрациями целевого изотопа. Сравнение идеального и оптимального каскадов [17-22]

Как будет показано ниже, каскад, параметры которого оптимизированы, в ряде случаев может иметь суммарный поток, величина которого меньше, чем в соответствующем идеальном каскаде [17, 18]. Приведем алгоритм расчета и оптимизации противоточного симметричного каскада.

Количество основных параметров, возникающих при описании разделения в каскаде, равно 6N+8. Перечислим их. Внешние параметры: потоки питания, отбора и отвала с соответствующими концентрациями. Внутренние: число ступеней и номер ступени, в которую подается поток питания, а также три потока с соответствующими концентрациями в каждой ступени. Из них N+4 являются независимыми, а остальные 5N+4 связаны следующими соотношениями:

уравнения баланса вещества и целевого компонента в ступенях

граничные условия

Здесь qs (Ls ,θs ) – известные функции, определяющие зависи-

мость полных коэффициентов разделения ступеней от потоков и коэффициентов деления потока.

Рассмотрим простейший случай, когда полный коэффициент разделения на каждой ступени постоянен. Введем вспомогательные

величины Ts и Js , которые принято называть транзитными пото-

67

ками разделяемой изотопной смеси и целевого изотопа соответственно. Они определяют перенос разделяемого вещества в целом и ценного компонента в сторону отбора из каскада, и в случае противоточного симметричного каскада находятся как разности двух потоков, проходящих через произвольное сечение между ступенями каскада

где s = 2, N – номер ступени справа от сечения.

Согласно уравнениям баланса для каскада в целом в отборной (обогатительной) секции обогащенная фракция предыдущей ступени превышает обедненную фракцию следующей ступени на величину P . Для соответствующих потоков целевого изотопа разница

составляет PcP . В секции обеднения аналогичные величины отрицательны: −W и −WcW . Следовательно, транзитные потоки будут равны

Используя определение для полного коэффициента разделения и транзитных потоков, можно составить две рекуррентные формулы

Формула (1.171) отражает изменение состава разделяемой смеси в ступени в результате эффекта разделения. Вторая рекуррентная формула с транзитными потоками составлена, исходя из балансовых соотношений в сечениях каскада. Она позволяет связать концентрации обогащенной фракции предыдущей ступени с концентрацией обедненной фракции следующей ступени.

Для расчета каскада достаточно задать N +5 параметров: четы-

N, f , L2′′, L3′′, ... , LN′′ . Тогда, определив W и F по формулам (1.77), (1.78) и вычислив транзитные потоки, можно найти L1′′ и C1′′

из граничных условий для каскада в целом. Затем, используя рекуррентные соотношения (1.171) – (1.172), можно найти концентрации обогащенной и обедненной фракций всех ступеней, начиная с первой. Процедура расчета завершается определением концен-

трации обогащенной фракции последней ступени c′N . После этого необходимо проверить граничное условие c′N = cP . Если оно удов-

летворяется, это означает, что все параметры были заданы правильно, и можно перейти к поиску других интересующих параметров каскада. В противном случае надо изменить один из заданных параметров и повторить описанную выше процедуру.

Задачу оптимизации сформулируем как определение внутренних параметров каскада, минимизирующих сумму потоков питания ступеней при выбранных внешних параметрах (см. формулу 1.99).

Оптимизация параметров каскада может быть проведена как численными, так и численно-аналитическими методами. Приведем численно-аналитический метод, предложенный в работе [17]. Задача оптимизации по критерию (1.99) ищется на множестве допусти-

где функция Λ отражает процедуру расчета концентраций по фор-

мулам (1.171) и (1.172).

Оптимальные значения N и f ищут перебором. В случае одинаковых полных коэффициентов разделения на ступенях каскада количество вариантов перебора N и f можно уменьшить, вычислив их приближенные значения по формулам идеального каскада с симметричными ступенями. При фиксированных значениях N и f транзитные потоки в каскаде определяются заданными значениями внешних параметров.

Функцию Λ записывают в явном виде, используя подстановку в первое рекуррентное соотношение (1.171) параметров q и CN′′, вы-

раженных через LN′′ и CN′ −1 из второго рекуррентного соотношения

69