Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

Следует отметить, что соотношение (2.94) несложно обобщить на случай каскада кусочно-непрерывного профиля, а также наличия нескольких потоков отбора и питания.

При заданном распределении L(l) уравнение (2.94) имеет един-

ственное решение, которое может быть построено, например, по методу последовательных приближений. Затем по формуле (2.95)

можно найти распределение Gi (l) , далее, используя соотношение

си.

С практической точки зрения интерес представляет возможность использования (2.95) для нахождения такого распределения L(l) , которое позволяет решить задачу заданного обогащения це-

левого компонента. Распределения L(l) и ci (l) по длине каскада однозначно определяются заданием одной из характеристических функций ϕn (l) (остальные ( m −1 ) функций определяются по со-

отношению (2.93)). Если вид характеристической функции позволяет вычислить интеграл в (2.95), то распределение потока L(l) и

концентрации ci (L) можно получить в аналитическом виде.

Простую и удобную математическую модель, с помощью которой может быть решен широкий круг разделительных задач, можно получить, если задать характеристические функции в виде экспо-

где Q i -некоторые постоянные, которые согласно (2.93), должны быть связаны условием

С помощью полученных соотношений (2.99) – (2.100), (2.102) –

Следует подчеркнуть, что концентрации в точке подачи питания каскада cif в общем случае не равны концентрациям в потоке пи-

тания ciF . Используя уравнения материальных балансов (2.43),

В свою очередь, используя формулы (2.100), (2.103), а также

m

уравнения баланса (2.43) и очевидное соотношение ∑c j =1, лег-

j=1

ко получить следующее выражение:

193

каскады позволяют проанализировать процесс концентрирования изотопов в определенной части изотопного спектра при соответст-

вующем выборе величины Qi . Это вытекает из следующих рассуждений. Предположим для определенности, что для i -го изотопа параметр Qi > 0 . Кроме того, естественно принять, что мы имеем

дело с длинными каскадами, у которых SP и SW велики. При оценке эффекта разделения наблюдается различие в поведении компонентов, для которых Qn больше или меньше нуля.

Для случая Qi > 0 из выражения (2.107) в предположении, что знаменатели в этих формулах одинаковы. Нетрудно получить оце-

аналогично, если Qi < 0 , то на основании выражения (2.107) запишем

Для отвальной части каскада аналогичные оценки получаются при Qi < 0 . В соответствии с условием (2.97) и учитывая, что вы-

где M – параметр, задание которого позволяет определить одновременно постоянную Q для всех компонентов смеси, ε0 – коэффициент обогащения, приходящийся на единичную разность массовых чисел, Mi – массовое число i -го компонента смеси. Тогда согласно выражению (2.113) все концентрации компонентов с массовыми числами Mi < M будут возрастать, концентрации компо-

нентов с массовыми числами Mi > M - падать на отборном конце каскада. Следовательно, Q -каскады позволяют разделять все изо-

топы данного элемента на две группы, причем в первой группе концентрации всех компонентов одновременно растут, а во второй группе падают.

Из полученных результатов непосредственно следует, что в одном Q -каскаде нельзя неограниченно увеличивать концентрацию

промежуточного компонента в отборе, поскольку сумма концентрации обогащаемых изотопов не должна превышать единицу.

С использованием (2.107) можно записать формулу для отноше-

Если n – номер целевого компонента и компоненты пронумерованы в порядке возрастания массовых чисел, Qi выбирается так,

чтобы все значения при i ≥ n были меньше 0. Тогда для каскадов с достаточно длинной обогатительной секцией, т.е. при любом i ,

exp Qi SP >>1 (см. формулу (2.114)), получим предельное значение целевого изотопа при выбранном числе ступеней в обеднительной части каскада SW :

∑γi ciF i=1

где

195

допустимое значение концентрации cï P при наличии обеднительной части определяется соотношением

В случае если целевой компонент обогащается в противоположенной части каскада с компонентами, номера которых

196

i = n +1,…, m (т.е. в потоке W ), то соотношение (2.119) перепишется в виде

Предельные значения промежуточных компонентов на концах Q -каскада существенно зависят от исходного состава. Так, для

Рис. 2.6. Схема выделения в двух последовательно соединенных каскадах промежуточного компонента

197

Для получения значений концентраций целевых промежуточных изотопов больших, чем предельные значения этих концентраций на концах каскада, имеются две возможности.

1. Подключение дополнительного отбора на том участке каскада, где целевой компонент локализуется. Анализ показывает, что в данном случае концентрация целевого компонента ненамного превосходит величину, определяемую соотношением (2.119).

Задача о получении любого практически чистого промежуточного компонента решается с помощью двух последовательно соединенных Q -каскадов (рис. 2.6).

Важной интегральной характеристикой разделительного каскада является суммарный поток. Умножив (2.101) и (2.103) на dl и проинтегрировав (2.101) и (2.103) соответственно по длине обогатительной (отборной) и обеднительной (отвальной) части, получим формулу для суммарного потока:

Для расчета Q -каскада на заданные величины cnP, cnW и P ( n – номер целевого компонента; все величины εij и ciF считаем

известными) можно рекомендовать следующую последовательность расчета:

1.Для целевого компонента задаем величину Qn (точнее, в

соответствии с (2.113) величину M ).

2.По соотношению (2.113) определяем все остальные Qi .

3.Решая совместно (2.107) – (2.108) для i = n , находим SP и

SW .

5.По формулам (2.100) и (2.103) определяем распределения потоков в отборной и отвальной частях каскада, а соотношение (2.121) позволяет вычислить суммарный поток каскада.

6.Оптимальную величину М следует определять из условия

∑L = min .

На рис. 2.7 представлена зависимость относительного суммарного потока ε02 ∑ L / 2P Q-каскада, разделяющего природную

смесь изотопов криптона (см. табл. 2.3), от величины параметра М при фиксированном значении концентрации ключевого компонен-

та 78Kr в потоке отвала c1W =0,12 для трех значений концентраций этого компонента в потоке отбора: c1P =20% (кривая 1), c1P =30% (кривая 2) и c1P =50% (кривая 3).

Все кривые имеют минимум. Отметим, что в каждом случае оптимальная величина параметра М, соответствующая минимуму суммарного потока, равна полусумме величин массовых чисел ключевого компонента и одного из соседних компонентов. Для кривой 1 Мопт=81=(М1+М5)/2=(78+84)/2, для кривой 2 Мопт=80,51=(М1+М4)/2=(78+834)/2, а для кривой 3 Мопт=80=(М1+М3)/2 =(78+82)/2.

Таблица 2.3

Природный состав изотопов криптона

Из информации, приведенной в разделе 2.3.4.2, станет ясно, что в рассмотренных примерах оптимальные условия разделения соответствуют Q-каскадам, на входах в ступени которых имеет место

несмешение по относительным концентрациям Rnk = cn ck , где n

– номер ключевого (целевого) компонента, k – номер опорного компонента, выбор которого для каждого примера обеспечивает

условие ∑ L = min .

199

Отметим, что для получения формул (2.101), (2.102), может быть использован подход, предложенный Б.В. Жигаловским [3]. В нем автор постулирует, что срезы парциальных потоков в каскаде могут быть представлены в виде

где εi – константы, не меняющиеся по величине при переходе от

ступени к ступени.

Нумеруя, как и раньше, ступени отборной части каскада от отборного конца к точке подачи питания, обозначим поток i -го компонента, проходящий через сечение между (l +1) -й и l -й ступеня-

ми через Ji = PciP .

Рис. 2.7. Зависимость относительного суммарного потока в Q-каскаде при обогащении 78Kr от величины параметра M . Кривая 1 для C1P = 20% ,

2 для C1P = 30% и 3 для - C1P = 50%

Тогда в отсутствие потерь на ступенях балансовые уравнения

или

200