Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

Обычно считают, что в системе уравнений (2.221) значения H , T и L(s) не зависят от времени. Если использовать новые пе-

приобретает вид, не зависящий от конкретного метода разделения

Для определенности рассмотрим прямоугольный каскад, имеющий в промежуточной точке поток питания F , а на концах каскада отводимые потоки – W (на «тяжелом» конце; условно – поток отвала) и P (на «легком» конце; условно – поток отбора). В этом случае перенос T определен как T = −W в отвальной секции каскада и T = P в отборной. Из условия сохранения переноса каждого компонента можно получить граничные условия для решения уравнений (2.224) в виде

– длина каскада (координата точки отбора); yF – координата точки

подачи потока питания; знаки +, - обозначают производные справа и слева от рассматриваемой точки.

Для решения полученной краевой задачи необходимо задание начального распределения концентраций всех компонентов по кас-

232

каду, которые в простейшем случае первоначального заполнения каскада однородной питающей смесью с концентрациями ciF можно записать как

Таким образом, (m −1) уравнений вида (2.224) с краевыми условиями (2.225) – (2.227), начальным распределением (2.228) и то-

m

ждеством ∑cj ( y,τ) ≡1 определяют полную систему для нахож-

j=1

дения любой концентрации в каждой точке каскада в любой момент времени.

Приведенные выражения легко обобщить на случай каскадов любого профиля (с любым видом распределения потока L(s) ) и

каскадов, имеющих несколько потоков питания и отбора. В случае расчетов каскадов, работа которых основана на использовании двухфазных (физико-химических) методов разделения в краевых условиях, необходимо проводить учет накопления изотопов в емкостях, где происходит обращение фаз [19, 20, 24].

Моделирование переходных процессов связано с известными математическими трудностями даже применительно к случаю разделения бинарных смесей изотопов, когда система (2.224) приводится всего к одному уравнению в частных производных (см. раздел 1.11.1.). Если же число компонентов больше двух, то, повидимому, единственно возможным является путь численного интегрирования, который в свою очередь предполагает разработку эффективных с точки зрения реализации на ЭВМ алгоритмов решения задачи.

Известные из литературы подходы к решению этой проблемы в основном сводятся к использованию сеточных конечно-разностных и дифференциально-разностных моделей уравнений нестационарных процессов.

Существенным недостатком первых является то, что для краевых задач подобного типа достаточно устойчивыми оказываются неявные схемы, которые приводят к тому, что на каждом просчитанном временном слое приходится решать большие системы нелинейных алгебраических уравнений. Применение же традицион-

233

ных явных методов, свободных от этого недостатка, ограничивается недопустимо малой величиной шага интегрирования по времени

[19].

Второй подход обосновывается тем, что в настоящее время методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений развиты лучше, чем методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Дифференциально-разностные модели («методы прямых») можно рассматривать как предельный случай сеточных моделей, когда одни из размеров сетки (шаг интегрирования по времени) стремится к нулю. В этом направлении можно выделить несколько работ. Например, в [20] краевая задача для каскадов с устройствами для обращения фаз путем асимптотических преобразований сведена к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это позволяет получить систему с хорошо обусловленными матрицами коэффициентов, что допускает использование для её решения простейших методов интегрирования, например, метода Эйлера. Однако, апробация этой модели на молекулярно-кинетических методах разделения не дала положительных результатов. В работе [23] переход к системам обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется с помощью замены пространственных производных симметричными конечно-разностными соотношениями. Решение системы производится методом типа Рунге-Кутта, который для своей устойчивости требует относительно малого шага интегрирования. В работах [2425] разработан численный метод интегрирования системы (2.224) – (2.228), свободный от указанных недостатков. Ниже приводится краткое изложение сути этого метода.

Как известно [27], для решения линейных краевых задач параболического типа существует явный метод, который абсолютно устойчив, т.е. устойчив при любом законе стремления величин шагов интегрирования к нулю. Этот метод известен в литературе как метод Дюфорта-Франкеля (E.DuFort, S.Frankel). Его идея состоит в том, что в симметричных конечно-разностных соотношениях, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных, проводится осреднение по двум соседним временным слоям центрального члена во второй пространственной производной. В работах [24-26] используется конечно-разностный сеточный метод, построенный по аналогии с методом Дюфорта-Франкеля. Для

234

перехода к конечным разностям вся область интегрирования

Симметричные конечно-разностные соотношения, аппроксимирующие производные в узлах сетки, имеют вид

концах каскада соотношения вида (2.229) неприменимы. Здесь надо использовать односторонние разложения с достаточно хорошим порядком точности. Практические расчеты показали, что удовлетворительные результаты дают следующие соотношения для односторонних производных:

Как следует из выражений (2.230) и (2.231), разностная схема расчета требует дополнительных вычислений значений функций на втором временном слое. Эти вычисления должны проводиться с большей точностью, чем требуется для решения в остальной области. Однако если в качестве начальных условий используются усло-

235

вия вида (2.227), то второй временной слой состоит из начальных данных, за исключением точки введения потока питания, точек разрыва потока L(s) и концов каскада. Численные эксперименты

на примере прямоугольно-секционированных каскадов по выявлению области устойчивости метода показали, что на его устойчивость слабо влияют различные параметры каскада, т.е. метод пригоден и в достаточной мере эффективен в широком диапазоне исследуемых задач. Шаг интегрирования τ достаточно велик и является величиной порядка . Если это сравнить с явным одноша-

говым методом, для которого τ < ( )2 , то ясно, что при <<1

преимущество метода значительно.

Численные исследования показали, что процесс вычислений на основе описанного метода остается устойчивым в широком диапазоне изменения пространственных и временных шагов интегрирования.

2.3.5.2. Некоторые особенности нестационарных процессов

Описанный выше метод был применен для исследования основных закономерностей переходных процессов в каскадах для разделения многокомпонентных изотопных смесей (на примере прямоугольного каскада [25]).

Результаты исследований позволили выделить два основных этапа переходного процесса. На начальном этапе изменения концентраций компонентов смеси имеют независимый друг от друга характер и определяют глобальный характер дальнейшего изменения концентраций. На следующем за ним основном этапе проявляется нелинейное взаимное влияние компонентов, связанное с процессом накопления на ступенях каскада. Рассмотрим особенности этих этапов более подробно.

Можно предположить, что на начальном этапе динамика изменения концентрации подчинена системе уравнений (2.224), в которой нелинейный член может быть заменен на следующую линейную аппроксимацию

j=1

236

m

а M = ∑M j cjF – среднее массовое число исходной смеси изотопов.

j =1

При этих условиях система уравнений (2.224) распадается на ли- нейно-независимые уравнения, которые можно решить аналитически. В частности, для «закрытого» каскада ( P = W = 0 ) решения для концов каскада имеют вид:

кому» концу каскада. При k = 0 имеется линейная зависимость

концентрации от τ , экспериментально подтвержденная в работе

[28].

Структура соотношений (2.236) такова, что знак начальных относительных изменений концентраций полностью определяется

коэффициентами bi , входящими в выражение (2.234).

С течением времени коэффициенты bi изменяются за счет из-

менения среднего массового числа M . В заданной точке каскада их изменение независимо от номера компонента i имеет одинаковые значения

Используя соотношения (2.236) при τ < 1 (τ = 1 −характерное время переходного процесса) в первом приближении находим

237

m

где σ = ∑cjF (M − M j )2 – начальная дисперсия изотопной сме-

j =1

си. Оценка (2.238) показывает, что решение (2.236), полученное с учетом линеаризации (2.234), оказывается обратно пропорциональным σ, а масштаб времени, в течение которого уравнения (2.234)

справедливы, пропорционален σ −2 . Другими словами, при разделении смесей с малой дисперсией σ <<1, в которой среднее массо-

вое число M близко к массовому числу одного из компонентов, период независимого обогащения может быть гораздо больше, чем при разделении с высокой величиной σ . Для объяснения целесообразно обратиться к примеру разделения изотопов криптона, как смеси, содержащей большое число компонентов с широким спектром начальных концентраций (см. табл. 2.6).

Таблица 2.6 Параметры природной смеси изотопов криптона (σ = 1,75)

Соответствующие значения концентраций (2.236) в масштабе времени τ , а также результаты численного расчета для прямоугольного каскада длиной yP = 5 приведены на графиках рис. 2.12.

Пример относится к обогащению «тяжелого» конца спектра массовых чисел, поэтому начальные активности изотопов 78Kr, 80Kr, 82Kr, 83Kr положительны, и их концентрации убывают на «тяжелом» (отвальном) конце каскада. На рис. 2.12,г и 2.12,д сравнивается решение (2.236) с экспериментальными данными работы [28] и численным расчетом.

238

τ τ

W(2W/ε0L=1);

¤– экспериментальные результаты, полученные в работе [28]

239

Оценить продолжительность периода независимого обогащения τн для произвольной многокомпонентной изотопной смеси можно,

если известно значение этого периода для какой-нибудь одной смеси. Например, взяв за основу смесь изотопов криптона (см. табл. 2.6), будем иметь

Численные исследования по разделению смесей различного изотопного состава показывают, что в течение времени τн решение

(2.236) в большинстве случаев достаточно хорошо описывает изменение концентраций и в случаях поддержания процесса разделения с постоянно включенным потоком W (см. рис. 2.10). Для разделяемых смесей с большой дисперсией (σ > 1) как это имеет ме-

сто для смесей изотопов криптона (σ = 1,75) , вольфрама (σ = 3,1 ) и ряда других при yP ≥1, значение τн практически не зависит от

yP .

Для смесей с малой дисперсией проявляется квадратичная зависимость от yP ; в частности при σ → 0 справедливо выражение

Как показывают экспериментальные [28] и расчетные исследования, во многих изотопных смесях имеются компоненты, начальное изменение концентраций которых носит аномальный характер и не подчиняется решению (2.236). Концентрация таких компонентов на концах каскадов первоначально возрастает и в дальнейшем

оказывается ниже своего начального значения cnF (рис. 2.12,д).

Подобные процессы могут иметь место независимо от начальной концентрации этого компонента и расчетного стационарного значения концентрации этого компонента, которое может быть выше

cnF . Такое существенно нелинейное («аномальное») изменение концентрации имеет место для компонентов смеси, у которых абсолютное значение коэффициента bn – имеет наименьшее значение и близко к нулю. Причина «аномального» изменения концентрации

240