Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

.pdf

Скачиваний:

179

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

6.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

ϕiGi (l +1) −(1−ϕi )Gi (l) = Ji .

(2.124)

С учетом (2.122) уравнения (2.124) преобразуются к виду

G (l +1) −G (l)

= 2

εi

G (l) +

2Ji

, i =1, 2, ..., m .

(2.125)

1+εi

Для случая, когда εi

<< 1, уравнение (2.125) можно переписать

в виде

dGi

== −2ε

+2J

, i =1, 2,

..., m .

(2.126)

Решение

этого

уравнения,

удовлетворяющее условию

Gi (0) = 2PciP

/ϕi

при εi << 1, есть

Gi (l) =

PciP

− exp(−2εi l)), i =1, 2, ..., m.

(2.127)

εi

Полный поток через ступень определяется выражением

L(l) = P

∑

1− exp(−2ε

(2.128)

ε j

j=1

Для концентрации i -го компонента получаем выражение:

(l)

ciP

1−exp(−2ε

]

c (l) =

[

(2.129)

cjP

∑Gj (l)

− exp(−2ε

∑j 1

j=1

Каскад, производительность ступени которого определяется формулой (2.128), в работе [3] назван «свободным» каскадом.

Сравнение (2.99) и (2.127), (2.100) и (2.128), (2.101) и (2.129) пока-

зывает, что при условии Qi ≡ 2εi введенные выше понятия Q −каскада и «свободного» каскада идентичны.

На примере диффузионной ступени в работе [3] выявлен физи-

ческий смысл констант εi (или Qi ).
εi −εk = εik′ =εik / 2 ,	(2.130)

то есть 2εi ≡ Qi , 2εk ≡ Qk .

201

Определение «свободный» каскад согласно [3] означает, что суммарный (по всем компонентам смеси) поток L(l) от ступени к

ступени изменяется в соответствии с изменением величины потока каждого из компонентов при прохождении через разделительную ступень. При этом перенос каждого компонента не зависит от переноса других компонентов.

2.3.4.2. R-каскады и их свойства

В случае многокомпонентной смеси создать каскад, в котором не происходит смешения потоков с разными концентрациями всех компонентов или нескольких (больше 2) компонентов невозможно,

строго говоря, вследствие различия в величинах Qi (или εi ), опре-

деляющих изменения количества i − ого компонента при движении по каскаду. Однако, как показывает анализ соотношений (2.100)- (2.108) и (2.113), можно, оставаясь в рамках Q −каскадов («свободных» каскадов) построить такие каскады, в которых не происходит смешения по парам концентраций cn и ck (точнее по отно-

сительным концентрациям Rnk = cn / ck ). Очевидно, должно суще-

ствовать	m(m −1)	каскадов для m −компонентов смеси, каждый
	2

из которых для пары произвольных компонентов ( cn , ck ) является

«идеальным». Покажем, что случай

M ≡ M * = Mn + Mk

илиQn =	1		(2.131)
илиQn =	2	εnk	(2.131)
	2

соответствует каскаду, на входах в ступени которого смешиваются потоки с одинаковым отношением концентраций n -го и k -го компонентов Rnk = cn / ck . Такой каскад, детально изученный для 3-

компонентной изотопной смеси в классической работе [13] был назван R-каскадом. Если параметр М задан в виде (2.131), то выражение (2.113) может быть переписано в виде

Q = ε		(	Mn + Mk	− M	)	(2.132)
Q = ε		(		− M	)	(2.132)
i	0	2		i
		2
		202

и в частности,

Qk = −Qn

(2.133)

При задании Qi в виде (2.132) из (2.107) и (2.108) с учетом уравнений баланса (2.43) можно непосредственно получить

RP	≡	cnP		cnF	= exp(Q S	p	)	(2.134)
RP	≡				= exp(Q S		)	(2.134)
nk		ck P		ck F	n
		ck P		ck F
RW	≡	cnW		cnF	= exp(−Q S )			(2.135)
RW	≡				= exp(−Q S )			(2.135)
nk		ckW	ck F		n		W
		ckW	ck F

где индексы P и W показывают, что значения относительных концентраций Rnk взяты для потоков отбора и отвала соответственно.

Уравнения (2.134) и (2.135) означают, что в выбранном каскаде

относительные концентрации R	=	cn	на входах в разделитель-

nk		ck

ную ступень одинаковы, то есть выполняется условие несмешивания относительных концентраций Rnk .

Из соотношений (2.134) и (2.135) следует, что задание относительных концентрацийRnk в потоках отбора и отвала позволяет

однозначно определить количество ступеней SP и SW , и следова-

тельно, в соответствии с формулами (2.99) – (2.104), (2.107) – (2.110) полностью рассчитать каскад.

Одновременно при задании Qi в виде (2.132) выражение для

суммарного потока (2.121) существенно упрощается. Действительно, из (2.107) и (2.108) с учетом условия (2.133) имеем

(exp(−Q S

) −1) = −Pc

ci, f

(exp(Q S

−1))

(2.136)

k P c

k , f

(exp(Q S

) −1)

= −Pc

ci, f

(exp(Q S

−1))

(2.137)

k W c

i W

n W

k , f

Суммируя (2.136) и (2.137) с учетом (2.43), (2.134) и (2.135),

можно получить равенство

PciP (exp(−Qi SP −1)) +WciW (exp(Qi SW −1)) = 0 ,

(2.138)

203

справедливое для любого i . Кроме того, непосредственно из соотношений (2.134), (2.135) с учетом уравнений баланса (2.43) следует:

Pc S

−Wc

ln RP

+Wc

ln RW

− Fc

ln RF

, (2.139)

Qi Qn

где RP

cnP

cnW

, RF

cnF

ckP

ckW

ckF

Подставив соотношения (2.138) и (2.139) в выражение для сум-

марного потока (2.121) и заменив Qn							и Qi	по формулам (2.131),
(2.132), получим					P		W	F
	2	m
∑ L =		∑	PcjP ln Rnk +WcjW ln Rnk − FcjF ln Rnk						.	(2.140)
	2
	ε0 j=1				(Mk −Mn )	Mk + Mn		−M j

							2
Уравнение (2.130) с учетом (2.134), (2.135) и (2.43) легко преоб-
разуется к виду
	PciP (RnkP )−di +WciW (RnkW )−di − FciF (RnkF )−di									= 0;
	di =			Qi	, i =1.…, m, i ≠ n, k.					(2.141)


				Q
				n

Уравнения (2.141), связывающие внешние потоки R-каскада и концентрации компонентов в этих потоках, носят названия Н- баланса [13]. Следует иметь в виду, что уравнения (2.141) содержат m − 2 независимых соотношений, так как при i = n и i = k они трансформируются в уравнения покомпонентного баланса для n - го и k -го компонента. Уравнения (2.141), совместно с уравнениями покомпонентного баланса (2.43) ( m уравнений) и очевидными

m	m
соотношениями ∑cjP =1 и	∑cjW =1 образуют систему
j=1	j=1

m − 2 + m + 2 = 2m независимых алгебраических уравнений, содержащую 2m + 3 неизвестных параметра ( 2m выходных концентраций: ciP и ciW , потоки P,W и F ). Таким образом, проектиро-

вочный расчет R-каскада предполагает задание (2m + 3) − 2m = 3

204

параметров (например, ciP , ciW и P ), остальные параметры опре-

деляются из решения указанной алгебраической системы.

В разделительной практике могут встречаться варианты расчета каскада из заданного числа разделительных элементов, т.е. каскадов с известным суммарным потоком. В этом случае система алгебраических уравнений должна быть дополнена уравнением (2.140), после чего для её решения достаточно задать лишь два па-

раметра (например, cnP и P ).

Заметим, что при k = n +1 получается R-каскад, позволяющий выделять в потоке отбора целевой (n-й) компонент вместе с компонентами 1-ым, 2-ым, …, (n-1)-м и препятствовать появлению в этом потоке компонентов с номерами n+1, n+2, … , m.

Рассмотренный частный случай Q -каскада (R-каскад) при пере-

ходе к двухкомпонентной смеси позволяет получить формулы для идеального каскада без смешения концентраций на входах в ступень. Это непосредственно следует из формул (2.134), (2.135). Легко показать, что в этом случае формула для суммарного потока (2.140) также превращается в известную формулу для идеального каскада.

2.3.4.3.Решение системы уравнений каскада с несмешением по относительной концентрации для выбранной пары компонентов методом Б.В.Жигаловского [3]

Рассмотрим некоторую пару компонентов с номерами n и k как опорную. Отсчет ступеней будем вести от отборного конца каскада. Для k-го компонента уравнение обогащения может быть записано в виде

dck	m		2P (ckP −ck )
	= −ck ∑εijcj	+		,	(2.142)
dl			L
	j=1

где l = SP − s, SP – число ступеней в отборной секции каскада. Уравнение (2.142) перепишем в виде

1	dck	m		2PckP		2P .
		= −∑εij cj	+		−		(2.143)
ck dl
		j=1		Lck		L

Аналогично для n-го компонента имеем

205

	1	dcn	m		2PcnP		2P .
			= −∑εijcj +			−		(2.144)
	cn dl
			j=1		Lcn		L
Вычитая (2.142) из (2.143) и учитывая, что
m	m			m			m
−∑(εnj −εkj )cj = −∑(εnj −εjk )cj				= ∑εnk cj = −εnk ∑cj = −εnk				,(2.145)
j=1	j=1			j=1			j=1

получим

dcn

−

dck

= −εnk

cnP

−

ckP

ck dl

cn dl

Примем, что величина потока L равна

L =

cnP

−

ckP

εnk

Подставляя выражение (2.147)в (2.146), получаем

d	ln	cn	= −	εnk	,
dl	ln	c	= −	εnk	,
dl		c		2
		k

(2.146)

(2.147)

(2.148)

откуда, учитывая,

что cn (0) = cnP и ck (0) = ckP , следует соотноше-

ние

cnP

εnk

exp −

(2.149)

ckP

или

εnk

Rnk

= Rnk

exp

(2.150)

cnP

где

R =

ckP

Решения (2.149) и (2.150) соответствуют аналогичному решению для двухкомпонентной смеси, разделяемой идеальным каскадом:

c1		c1P	ε12
	=		exp		l	,	(2.151)
c2		c2P		2

а соотношение (2.147) является обобщением соотношения для распределения потока в идеальном каскаде:

206

L =

4P c

−c

4P c

−

или

(2.152)

ε12 c1

(1−c1 )

ε12

где c2 =1−c1, c2P =1−c1P .

Найдем решение уравнения

2P (ciP

−ci )

dci

= −ci ∑εijcj

(2.153)

L(cn ,сk )

j=1

где L(cn ,ñk ) определяется соотношением (2.146) для прочих ком-


понентов в каскаде с несмешением по			R =	cn	(i ≠ n, k) .
понентов в каскаде с несмешением по			R =		(i ≠ n, k) .
			nk	ck
				ck
Умножая (2.153) на сn, а уравнение для n-го компонента
	dcn	m	2P (cnP −cn )
	dcn	= −cn ∑εnjcj +	2P (cnP −cn )			(2.154)
	dl	= −cn ∑εnjcj +	L(cn ,ck )			(2.154)
	dl	j=1	L(cn ,ck )

на ci и вычитая (2.153) из (2.154) с учетом того, что поток L(cn ,ck ) определяется соотношением (2.147) , получаем

c / c −c / c

= εni

−

iP nP

i n

(2.155)

dl cn

cn ckP / cnP −ck / cn

Из соотношения (2.149), логарифмируя и дифференцируя, находим

	2	1		c
dl =				d	k	.	(2.156)
	εnk		ck / cn
				cn

Используя выражение (2.156), преобразуем уравнение (2.155) к виду

cicnP		c c		ε
d		c c	= 2	ε
		n iP	= 2		ni
		n iP			ni
c c		c c		ε
d	k nP	c c			nk
		n kP

cicnP	cnciP	−	1−cicnP		cnciP	.	(2.157)
c c			1−	c c

k nP	cnckP			k nP	cnckP

Обозначим отношения
c c			RnkP		c c	=Y		εni
k	nP cnckP	≡		= X ,	i nP cnciP		и 2			=αi . (2.158)
			R					ε	nk
			nk

207

Тогда уравнение (2.157) будет выглядеть следующим образом

αi

Y −

− X

1− X

Решение уравнения (2.159)с граничным условием

limY =1 при X →1 и αi

≠1имеет вид

1− X αi −1

или

αi

−1

1− X

αi −1

1 −

= RP

−1

ik α

1−

Rnk

где . R =

RP =

ciP

ckP

Перепишем решение (2.161) в виде

αi −1

1−

nk R

−1

1−

(2.159)

(2.160)

(2.161)

(2.162)

Поскольку ∑cj =1, то с учетом полученного решения (2.161)

j=1

имеем

ckP

cjP

α j −1

∑

−

=1. (2.163)

−1

1−

Rnk

j=1

Поделив (2.162) на (2.163), получаем

ciP

αi −1

cjP

α j −1

− nk

/ ∑

−

. (2.164)

−1

j=1

208

Концентрация i-го компонента сi,f в сечении каскада, куда подают поток питания, связана с концентрацией этого же компонента в потоке отбора в соответствии с (2.164) следующим соотношением

ciP

αi −1

cjP

ci, f

−

R f

/ ∑

−

−1

j=1

α j −1
R f	.
nk

(2.165)

Поскольку рассматривается каскад с несмешением по Rnk = cn ck

то

R f

= RF , где

cn,

, то с учетом (2.150) выражение (2.165)

ckF

можно переписать в виде

ciP

εnk (αi

αi −1

cjP

−1)SP

/ ∑

ci, f

1−exp

αi −1

j =1 αj −1

. (2.166)

εnk (αj −1)SP

αj −1

−exp

Учтем, что

εni

εni −εnk

αi −1 = 2

−1 =

εnk

εni

− εin +εnk

εni

−

εik

εni

+εki

εnk

и введем обозначение

Qi = εin +2 εik

откуда следует, что αi −1 = − 2Qi .

εnk

≡ −	(αi −1)εnk	,	(2.167)
	2

209

Тогда из выражения (2.166) следует, что при i=n Qn = ε2nk , а

при i=k Qk = −ε2nk . С учетом обозначений (2.167) уравнение

(2.166) запишется

cjP

−exp (−Qj SP ) .

ci, f =

−exp (−Qi SP )

/ ∑

(2.168)

j=1

Решая (2.168) относительно ciP и учитывая, что ∑cjP

=1, по-

j=1

лучаем

Qici, f

Qj cj, f

ciP

/ ∑j=1

(2.169)

1−exp(−Qi SP )

1−exp(−Qj SP )

Выражения (2.161), (2.167) и (2.169) справедливы для той части каскада, которая считается отборной для самого легкого компонента.

Для отвальной секции каскада могут быть получены аналогичные выражения, которые будут иметь следующий вид

αi −1

−

(2.170)

−1

1−

Rnk

cjW

exp(Qj SP )−1

ci, f =

exp(Qi sW

−1)

/ ∑

(2.171)

j=1

Qici, f

Qjcj, f

ciW =

/ ∑j=1

(2.172)

exp(Qi SW ) −1

exp(Qj SW )−1

где SW – число ступеней в отвальной части каскада.

Выражения, связывающие концентрации компонентов в потоках отбора и отвала с концентрациями компонентов в потоке питания

ciF (i =1, 2, ..., m) можно найти, если воспользоваться условиями неразрывности концентраций компонентов в точке подачи питания.

210

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3721 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2013591.64 Кб15Болотская Методическое пособие по исползованию кодов обработки 2010.pdf
#
16.08.20137.71 Mб106Болятко Екология ядерной и возобновляемой енергетики 2010.pdf
#
16.08.20135 Mб467Болятко Основы екологии и охраны окружаюсчей 2008.pdf
#
16.08.20133.44 Mб994Болятко Сборник задач по курсу Основы екологии 2007.pdf
#
16.08.20134.98 Mб404Бондарев Физическая засчита ядерных обектов 2008.pdf
#
16.08.20136.3 Mб179Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011.pdf
#
16.08.20139.88 Mб202Борман Теория разделения изотопов 2007.pdf
#
16.08.20136.78 Mб581Борман Физические основы методов исследования 2008.pdf
#
16.08.20133.87 Mб111Борог Основы мюонной диагностики 2008.pdf
#
16.08.20133.26 Mб196Бочаров Проектирование БИС класса система на кристалле 2008.pdf
#
16.08.201325.25 Mб130Боярчук Прикладная ядерная космофизика 2007.pdf