Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

Таким образом, задавая значения концентраций целевого компонента в основном cnP и дополнительном потоках отбора cnP1 , в потоке отвала cnW (концентрации ciF считаем заданными), а также

отношение потоков P1/P и, решая систему уравнений (2.212), (2.213), (2.215) для i=n, находим величины относительных концен-

задачи. После определения этих параметров по соотношениям (2.212) – (2.215) рассчитывают концентрации остальных компонентов в отводимых из каскада потоках, а по соотношениям (2.206) длины отборной SP и отвальной SW секций каскада, а также длину участка каскада между двумя потоками отбора s1.

Алгоритм расчета каскада на заданные концентрации ключевого

компонента cnP , cnP и cnW с использованием уравнений (2.212) –

1

(2.214) выглядит следующим образом.

1.Задают значения концентраций ключевого компонента в от-

потоков отбора P1/P.

2.Задают начальные приближения для относительных кон-

3.С использованием уравнений (2.212) – (2.215) рассчитыва-

4.Определяют величины невязок концентраций

Расчет заканчивается по достижению заданной точности по величине невязок. В противном случае относительным концентрациям по тому или иному алгоритму дают приращения и повторяют расчет по пунктам 3 и 4.

В качестве примера приведем результаты расчета каскада с дополнительным отбором для разделения пятикомпонентной смеси изотопов вольфрама природного состава, приведенного в табл. 2.4.

Ключевым компонентом выбран изотоп вольфрама с промежуточной атомной массой 183W. Нумерация компонентов проведена от «легкого» к «тяжелому» концу спектра масс изотопов, так что це-

222

левым является изотоп с номером n=3 (cnF =14,3%) . Решение

системы уравнений выполнено методом Ньютона [16]. При решении системы (2.212) – (2.215) в качестве начальных приближений

ты их значения, полученные из расчета каскада без дополнительно-

При расчете каскада с дополнительным отбором на получение

являлось отношение потоков отбора P1/P, которое варьировалось в диапазоне от 0 до 1.

Результаты расчета в виде зависимостей W/P, ε0SP , ε0 s1 и ε0 SW ( ε0 – коэффициент обогащения, приходящийся на единицу разно-

сти массовых чисел) от величины параметра P1/P представлены в табл. 2.5.

Результаты расчета показывают возможность включением дополнительного отбора получить изотопный продукт с большим обогащением по ключевому компоненту, чем в концевом отборе каскада. Величина дополнительного отбора зависит от концентрации в нем ключевого изотопа, а также от состава исходной разделяемой смеси и концентрации ключевого компонента в основном отборе P . В рассмотренном случае величина дополнительного отбора достигала ~20% величины основного отбора при относительном увеличении величины концентрации целевого изотопа в нем

по сравнению c3P более чем на 30%.

223

Таблица 2.5 Параметры R-каскада с дополнительным потоком отбора для разделения

Анализ результатов показывает также, что увеличение относительного отбора приводит к увеличению числа ступеней в каскаде и

суммарного потока. Важно отметить, что отношение PP1 ограничено сверху. Существование предельной величины PP1 объясня-

ется тем, заданная концентрация ключевого компонента не может быть достигнута ни в одном сечении каскада.

2.3.4.5.Аппроксимация каскадов непрерывного профиля прямоугольно-секционированным каскадом

Проектировочный расчет прямоугольно-секционированного каскада по заданному отбору и ограничениям диапазона концентраций целевого изотопа в потоках отбора и отвала заключается в определении следующих его параметров: число, длина и потоки

секций, отношение потоков отвала и отбора WP . При этом, как

правило, значения параметров должны соответствовать значениям, оптимальным по тому или иному критерию. Использование методов непосредственного расчета целевых каскадов для концентрирования заданного компонента представляется неэффективным, поскольку концентрации компонентов в отборе многокомпонентного каскада существенно зависят от распределения потоков, вследствие чего профиль целевого каскада предугадать невозмож-

224

но. Поэтому проектировочные расчеты целесообразно проводить на основе модельного каскада непрерывного профиля.

До настоящего времени вопрос о модельном каскаде, обеспечивающем в случае «слабого» разделения условие ∑ L = min , оста-

ется открытым. На практике в качестве модельного каскада непрерывного профиля удобно использовать рассмотренный ранее Q -

каскад («свободный» каскад), с помощью которого сравнительно просто решается вопрос о концентрировании промежуточных компонентов.

Принципиальная возможность замены Q -каскада каскадом из

секций постоянной ширины впервые была продемонстрирована в работе [12]. В [17] предлагается один из возможных критериев аппроксимации и разрабатывается методика расчета ПСК, распределение концентраций в котором наиболее близко к распределению концентраций в модельном Q -каскаде. Задача о замене участка Q -

каскада, работающего в диапазоне концентраций от ci,нач до ci,кон

( (i =1,…, m где m – число компонентов смеси), секцией постоянной ширины сформулирована следующим образом [17]: найти такие значения потока L и числа ступеней S в секции, при которых отклонения полученных в результате расчета концентраций в конце прямоугольной секции ci от заданных значений ci,кон мини-

мальны. При этом предполагается, что концентрации в начале секции и в отборе каскада ciP совпадают с соответствующими концентрациями Q -каскада. В качестве критерия аппроксимации удобно

использовать сумму относительных отклонений концентраций компонентов в конце секции

Расчет отдельных секций наиболее целесообразно проводить методом непосредственного интегрирования системы (2.63) – (2.64). Если считать, что концентрации в начале секции заданы

то расчет секции сводится к решению уравнений (2.63)-(2.64), т.е. с начальными условиями (2.217), т.е. к обычной задаче Коши. Поскольку значения концентраций в каждой точке секции при извест-

ных концентрациях в потоке отбора ciP и отвала ciW зависят от

координаты s , отсчитываемой от начала секции, и потока секции L , задача сводится к поиску таких значений s и L , при которых функция (2.216) минимальна. На рис. 2.9 представлены зависимо-

функции (2.216) от приведенного потока ε0 L2P в каскаде постоянной ширины, аппроксимирующего Q -каскад, для шестикомпо-

нентной смеси изотопов криптона. Из рисунка видно, что в точке, соответствующей минимуму функции (2.216), относительные отношения концентрации малы и не превышают 3%.

Таким образом, критерий (2.216) позволяет с определенной точностью рассчитать ПСК, в котором распределения концентраций компонентов близки к их распределению Q -каскаде. Однако этот

ПСК в общем случае не оптимален по значению суммарного потока, являющегося одним из основных критериев оценки эффективности каскада, несмотря на то, что в критерии (2.216) использованы концентрации в соответствующих сечениях оптимального Q −кас-

каде.

Рис. 2.9. Зависимость относительных отклонений концентраций и функции невязки (2.216) от приведенного потока ε0L / P [17]

226

На рис. 2.10 представлены профили потока и распределения концентраций компонентов для двух прямоугольных каскадов, заменяющих Q -каскад, оптимальный в отношении суммарного по-

тока. Оптимизация Q-каскада сводится к нахождению параметра М (формула (2.113)), соответствующего минимальному значению суммарного потока в каскаде. Параметры одного из каскадов выбраны в соответствии с минимумом функции (2.216), а второго – в результате оптимизации суммарного потока. Расчеты проведены для случая разделения трехкомпонентной модельной смеси с концентрациями в потоке питания c1F = 0,2; c2F = 0,3; c3F = 0,5.

Задача оптимизации имеет следующую формулировку: определить параметры каскада с заданным отбором и концентрациями целевого компонента в потоке отбора из области допустимых значений (формулы (2.115) – (2.120)), соответствующих минимуму суммарного потока.

Рис. 2.10. Распределение концентраций компонентов модельной трехкомпонентной смеси в каскаде прямоугольного профиля: a) – получено в результате аппроксимации Q-каскада по критерию (2.216); б) – оптимальное [18]

227

Из зависимостей, приведенных на рис. 2.10, следует, что аппроксимация по критерию (2.216) не решает основной задачи – получить оптимальный ПСК на основе оптимального Q -каскада, так

как суммарный поток, профиль и распределения концентраций в ПСК, полученных при аппроксимации, не совпадают с оптимальными. Так, в данном случае отклонение суммарного потока от его минимального значения составляет ~10%, а для смесей другого состава оно может быть и больше.

В работе [18] предложена методика аппроксимационного расчета ПСК и одновременной его оптимизации по какому-либо критерию. Методика основана на использовании целевой функции оптимизации, учитывающей как критерий оптимальности, так и сумму отклонений компонентов на стыке обогатительной (отборной) и обеднительной (отвальной) частей. В случае, когда в качестве критерия оптимальности выбран суммарный поток, целевая функция имеет вид

где ciP, f , ciW, f (i =1,…, m) – концентрации в точке подачи пита-

ния, полученные в результате интегрирования системы (2.63)-(2.64) по длине обогатительной (отборной) и обеднительной (отвальной) частей по направлению от концов каскада к точке подачи питания.

∑ LПСК , ∑ LQ – суммарные потоки аппроксимирующего ПСК и

Q -каскада соответственно. Целевую аппроксимацию осуществляют в процессе оптимизационного поиска параметров каскада, при которых значение функции φ минимально. На каждом этапе опти-

мизации проводят только интегрирование системы (2.63) – (2.64) с граничными условиями

где ciPQ , ciWQ – концентрации на концах аппроксимируемого Q -

каскада.

Первый член функции (2.218) определяет точность расчета ПСК, соответствующего оптимальному Q -каскаду и имеющего те

228

же концентрации компонентов на концах. Второй член характеризует степень приближения ПСК к оптимальному по суммарному потоку Q -каскаду и является величиной обратной КПД* формы

ηФ . Следует отметить, что вместо КПД формы можно использовать отношение длин ПСК и Q -каскада или какой-либо другой

критерий.

Для повышения точности расчета необходимо, чтобы члены функции (2.218) были одного порядка. С этой целью введены нор-

мирующие коэффициенты K1 и K2 . Их соотношения зависят от

числа компонентов, состава исходной смеси, значения ключевого компонента в исходной смеси и значения его обогащения. Для оп-

ределения диапазона изменения отношения K2 K1 в работе [18] исследовали зависимости концентраций компонентов в потоках отбора и отвала и значения 1ηΦ для изотопных смесей различного состава. В результате было определено, что для смесей различного состава с числом компонентов от 3 до 6 отношение K1 K2 изме-

няется в пределах от 10 до 30.

На рис. 2.11 приведены зависимости концентраций целевого компонента с2 рассмотренной трехкомпонентной смеси в потоках отбора и отвала и значения обратного КПД формы от отношения коэффициентов K1 K2 . Видно, что для исследованной смеси в указанном диапазоне изменения K1 K2 полученный в результате

аппроксимации каскад имеет близкие к оптимальным КПД формы и концентрации целевого компонента в потоке отбора и отвала.

При больших K1 K2 вторым слагаемым в (2.218) по сравнению с

первым можно пренебречь, и результатом аппроксимации является ПСК близкий к рассчитанному по критерию (2.216) с КПД равным

сти концентраций компонентов в точке подачи питания. В этом случае для уточнения расчета необходимо решить систему

тания, полученные из расчета от концов каскада, отборного и отвального, соответственно.

Полученные в результате этого решения значения концентраций

отвала полученного каскада. Целесообразно оптимизацию Q − кас-

када и ПСК проводить по одному критерию. Изложенный подход может быть использован и при расчете каскадов, имеющих несколько потоков отбора и отвала.

230