Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

.pdf

Скачиваний:

179

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

6.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

где стац = (cP )стац −c0 .

Иногда полезно использовать линейную аппроксимацию

c(1− c) ≈ a +bc ,

(1.314)

где a и b -константы. В этом случае уравнение (1.273) удается привести к следующей краевой задаче:

∂ς

∂2ς

−

∂ς

;

∂t

∂y

a +bcP

ς( y,0) =

exp

−b

−1

ε b

a +b c0

a +b

ς(0,τ) =

a +b

−1

ς( yP, 0) = 0,

где

ς =

(a +bc)L*

;

(a +bc )P

+b cP

exp

−b

−1 .

+b c0

(1.315)

(1.316)

(1.317)

Решение краевой задачи (1.315) с учетом

a +bcP

a +bc0

= exp b

= QP

(1.318)

запишем в виде

πn

a +b c

∞

sin

= exp b

+ ∑ An

exp b

−

, (1.319)

a +b c0

n=1

tn Qb

exp

−b

−1

где

121

4b2Qb

(ln q

(−1)n Q −1,5b −1

(1.320)

π3

3b ln QP 2

b ln QP 2

+ n

2π

1			ε2	2πn	2
		=				+1 .	(1.321)
	tn			b ln QP
			32ω

Принимая y → yP = εSP ,				получим из выражения (1.321) сле-

дующее соотношение для «положительного» конца идеального каскада

	a +bc	P	(t)			∞	πn(−1)n			t
				= QPb	1	+∑ AnqP−0,5b	exp		−		. (1.322)
	a +bc0
						n=1	b ln QP			tn
Нетрудно видеть, что рассмотренный случай								c(1−c) ≈ a +bc

включает в себя также линеаризацию при c <<1 и 1− c <<1 (этим условиям будут соответствовать значения соответственно a = 0, b =1 и a =1, b = −1). Соотношения (1.305), (1.306), (1.313)

и (1.322) можно использовать для расчета степени разделения (или концентрации в потоке отбора) идеального каскада в переходном режиме в произвольный момент времени.

Очевидно, что ряды в этих решениях будут сходящимися. Ограничиваясь случаем c <<1, исследуем сходимость выражения (1.305). Так как члены ряда в этом выражении знакопеременны, то согласно признаку Лейбница [26] погрешность при вычислении суммы ряда будет не больше первого из отброшенных членов. Зна-

чения отношения второго члена B2 к первому B1 ряда (1.305) в момент времени t = t1 при различных значениях ln QP приведены

в табл. 1.5.

Из приведенных значений непосредственно следует, что вплоть до ln QP = 2 ÷2,5 без существенной погрешности можно ограничиться лишь первым членом разложения, и, учитывая, что при t = 0, QP (0) =1, выражение (1.305) легко преобразовать к виду

122

Q (t)			t
P	=1−exp	−		,	(1.323)
QP	=1−exp	−	t1	,	(1.323)
QP			t1

где t1 – так называемое время релаксации [7], определяемое фор-

мулой (1.304) для n =1.

Если для рассматриваемого случая ввести в расчет степень приближения ϕ к равновесию, определяемую как отношение текущего

обогащения к равновесному [7], то
ϕ =	QP (t) −1	(1.324)
ϕ =	Q −1	(1.324)
	Q −1
	P

и время достижения заданной степени приближения к равновесию составит

t	ϕ	= t	1	ln		1	.	(1.325)

					1	−ϕ

Из соотношения (1.325) следует, что время, необходимое для приближения к равновесию на 95-99 %, т.е. практическое время

установления, будет равно (3 −5)t1 .

Таблица 1.5

Значения отношений B2 / B1 в решении (1.305) при различных величинах ln QP


ln QP	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0

B2 / B1	0,003	0,001	0,017	0,025	0,035	0,05	0,07	0,09

2. Переходной процесс в прямоугольном каскаде [1, 3, 7, 35, 36]

Ограничимся рассмотрением случая, когда концентрации на ступенях каскада в течение всего переходного периода сохраняет малое значение, т.е. c <<1, концентрация у «отрицательного» кон-

ца каскада равна c = c0 и процесс осуществляется при непрерыв-

ном и постоянном по величине потоке отбора. При сделанных предположениях основное уравнение (1.273) линеаризуется и принимает вид

123

∂c	=	∂2c	−(1+Ψ )	∂c	,
∂τ		∂y2		∂y

где Ψ = ε2PL , которое должно удовлетворять условиям:


c( y,0) = c0			(0 < y < yP ),
c(0,τ) = c0			(τ > 0),
∂c	−c	y= yP = 0.


∂y

	y= yP
	y= yP

(1.326)

(1.327)

(1.328)

(1.329)

Решение (1.326) удобнее выполнить, вводя новую зависимую переменную следующим образом

u = c −c0 ,

тогда (1.326) – (1.329) перепишутся в виде

∂u = ∂2u −(1+Ψ ) ∂u , ∂τ ∂y2 ∂y

u( y,0) = 0 (0 < y < yP ), u(0,τ) = 0 (τ > 0),

∂u	−u	y= yP	= c0.

∂y

	y= yP

(1.330)

(1.331)

(1.332)

(1.333)

1.334)

Решая уравнение (1.331) методом интегральных преобразований Лапласа*, получим в изображениях

												2
			1	+Ψ			1	+Ψ					+ p
u = Aexp						+									y
u = Aexp				2		+			2						y
				2					2							(1.335)
															.	(1.335)
	1	+Ψ					1+Ψ			2
	1	+Ψ					1+Ψ				+ p
+B exp					−									y
+B exp		2			−		2							y
		2					2

Из условия (1.333) найдем B = −A и

* Правила операционного исчисления коротко изложены в Приложении 2.

124

								1												1+Ψ					2
		u =		2Aexp				2	(1+Ψ ) y								sh					2					+ p		y	. (1.336)
								2														2

Используя условие (1.334), определим значение																													A ,	подставив
которое в (1.336) получим
												1
						u = c0		exp			−			(1+ψ )( yP					− y)		×
						u = c0		exp			−	2		(1+ψ )( yP					− y)		×
												2																		(1.337)
						2										2											2			(1.337)
×		1+Ψ					+ p	sh			1		+Ψ				+ p		y			1	+Ψ				+ p ×

			2											2									2
			2											2									2


	1+Ψ				2					1	−ψ				1+Ψ			2						1		+Ψ		2		−1
×ch	1+Ψ				+ p yP −					1	−ψ				1+Ψ				+ p sh					1		+Ψ			yP
																														.
			2								2						2									2				.
			2								2						2									2

Пользуясь теоремой разложения и переходя к оригиналу, получим, что изменение концентрации у «положительного» конца ПК составит

1+th

1+Ψ

(τ)

−

1−Ψ

1+Ψ

(1.338)

(1+Ψ )

yP −4rn

exp −

yP2

+32yP ∑

−Ψ )

−

(1+Ψ )

yP −4rn

2yP −4rn

где rn корни характеристического уравнения

th rn

2rn

(1.339)

(1−Ψ ) yP

Значения этих корней приведены в Приложении 3.

Если в течение переходного процесса отбор выключен, то Ψ ≡ 0 и (1.339) приводится к виду [37]:

125

exp

−

−4r2

cP (τ)

= exp( yP ) +32 yP ∑

, (1.340)

−4r

−2y

−

Из сравнения (1.339) и (1.340) следует, что при наличии отбора достижение заданной концентрации у «положительного» конца ПК требует большего времени, чем в случае работы ПК в безотборном режиме.

В случае yP → ∞ соотношение (1.337) может быть упрощено, и для «положительного» конца ПК ( y = yP ) получим

u =

1+Ψ 2

+ p −

1−Ψ

(1.341)

+Ψ

+ p

1+Ψ

+ p

−

p +Ψ

Переходя к оригиналам, с учетом (1.330) имеем

(τ)

1+Ψ

1−Ψ

−exp(−ψτ ))

erf

(1.342)

1−Ψ

1−ψ

1−Ψ

1+erf

−

erf

где

erf z =

∫exp(−x2 )dx

(1.343)

При Ψ → 0 в формуле (1.342) возникает неопределенность, раскрывая которую найдем отношение концентраций в безотборном режиме, когда c <<1

126

cP (τ) =

+erf

exp

−

τ .

(1.344)

Численный анализ показывает, что при одинаковых безразмерных временах τ значения концентрации в потоке отбора, получаемые с помощью формулы (1.341), всегда превышают значения, получаемые с помощью формулы (1.340).

Сравним теперь переходные процессы, протекающие в идеальном и прямоугольном каскадах.

На рис. 1.29 приведено отношение времен при одинаковом значении коэффициента ϕ = 0,95 идеального каскада t* и прямоугольного каскада tПК в зависимости от степени разделения

QP = RP R0 для случая c <<1. Время tПК рассчитываем по формуле (1.338), а t * – по формуле (1.325).

Следует отметить, что величины t*tПК в широком диапазоне QP практически совпадают с соответствующими величинами к.п.д. формы прямоугольного каскада. Качественно это можно объяснить тем, что времена t* и tПК пропорциональны накоплению изотопа,

а накопление, в свою очередь, пропорционально объему каскада и соответственно для ПК определяется КПД формы.

Рис. 1.29. Зависимость величины t*tПК от степени разделения Qp = Rp / R0

для случая малых концентраций ( c <<1) [33]

127

3. Оценка времени установления по отношению суммарного накопления ценного изотопа в каскаде к средней скорости его накопления [4]

Рассмотрим упрощенный подход для оценки времени выхода каскада на стационарный режим работы.

Исходные предположения:

1)в начальный момент времени каскад заполнен смесью с концентрацией ценного изотопа cF ;

2)так как время выхода каскада на стационарный режим работы tP определяется в основном обогатительной частью, рассмот-

рим случай yW = 0 (отсутствие обеднительной части). На «отрицательном» конце каскада ( s = 0 ) поддерживают постоянное значение концентрации c(0,τ) = c0 . Это эквивалентно тому, что к «отрицательному» концу каскада подсоединен резервуар бесконечного объема, содержащий рабочее вещество с концентрацией c0 (см.

рис. 1.30).

Рис. 1.30. Схема каскада в бесконечном резервуаре на «отрицательном» конце

3) в период времени [0,tP ] поток отбора выключен. Он включается в момент времени t = tP , когда концентрация на «положи-

тельном» конце достигает расчетного значения cP (рис. 1.31).

Для того, чтобы вывести каскад на стационарный режим работы, в нем следует накопить ценный изотоп (полное накопление) в количестве

128

		SP
		M =ω ∫ L(s)[c(s) −cF ]ds	(1.345)
		0
	c(SP ,t)
cP
cF		t	t
	P	t	P
	P

Рис. 1.31. Качественные зависимости, поясняющие момент включения потока отбора из каскада

Обозначим через J (0,t) и J (SP ,t) соответственно поток цен-

ного изотопа через начальную и конечную ступени в момент времени t . Поток изотопа через произвольную ступень s в момент времени t равен:

J (s,t) =

L(s)

εc(s,t)[1 − c(s,t)(1 − c(s,t))]− ∂c(s,t)

(1.346)

∂t

Тогда

скорость

накопления

ценного

изотопа

каскаде для

0 ≤ t < tP

будет равна

J (t) = J (0,t) − J (SP ,t) =

)

(

)

c(0,t)

(

− L(S

) c(S

,t)

+ (1.347)

L(0)

1−c(0,t)

1−c(S

∂c

L(SP )

∂s

− L(0)

∂s

s=SP

s=0

Величины (1.345) и (1.347) связаны очевидным соотношением

129

	tP
M = ∫ J (t)dt				(1.348)
	0
Интеграл в (1.348) можно представить в виде
tP
∫	J (t)dt =		tP	(1.349)
		J
0

где J – средняя скорость накопления ценного изотопа за временной промежуток [0, tP ], тогда, время tP можно оценить по формуле

	~
tP =	M	(1.350)

	J
	J

Оценим теперь среднюю скорость накопления в начальный мо-

мент

времени

(0) = J (0,0) − J (SP ,0)

в момент

времени

t = tP ,

(tP ) = J (0,tP ) − J (SP ,tP ) .

При t = 0 ,

c(0,0) = c ,

∂c

= 0;

∂s

s=0

c(S

,0) = c

∂c

t=0

= 0 .

s=0

∂s

Следовательно,

t=0

(0) = 1

εc0 (1−c0 )[L(0) − L(SP )].

(1.351)

Для любого момента времени t '

t ' > t

, c(0,t' ) = c

∂c

εc (1−c ) −

−c ) ,

∂s

s=0

L(0)

∂c

c(sP ,t ' ) = cP ,

= εcP (1−cP ) ,

∂s

s=SP

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2013591.64 Кб15Болотская Методическое пособие по исползованию кодов обработки 2010.pdf
#
16.08.20137.71 Mб106Болятко Екология ядерной и возобновляемой енергетики 2010.pdf
#
16.08.20135 Mб467Болятко Основы екологии и охраны окружаюсчей 2008.pdf
#
16.08.20133.44 Mб994Болятко Сборник задач по курсу Основы екологии 2007.pdf
#
16.08.20134.98 Mб404Бондарев Физическая засчита ядерных обектов 2008.pdf
#
16.08.20136.3 Mб179Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011.pdf
#
16.08.20139.88 Mб202Борман Теория разделения изотопов 2007.pdf
#
16.08.20136.78 Mб581Борман Физические основы методов исследования 2008.pdf
#
16.08.20133.87 Mб111Борог Основы мюонной диагностики 2008.pdf
#
16.08.20133.26 Mб196Бочаров Проектирование БИС класса система на кристалле 2008.pdf
#
16.08.201325.25 Mб130Боярчук Прикладная ядерная космофизика 2007.pdf