Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011
.pdfX f −1 = Yf −1 W .
P1
С другой стороны из общих уравнений баланса следует
|
|
|
F = P1 + P2 +W , |
|
|
|
|
|
||||||||
Fc |
F |
= Pc |
+ P c |
P2 |
+Wc . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 P1 |
|
2 |
|
|
|
W |
|
|
|
||||
С учетом (1.400) и (1.401) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
W |
|
= |
|
β +γ +(1+γ )/ βN − f +1 |
|
. |
|
|||||||||
P1 |
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
βN − f +1 |
β N +1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Исключая из выражений (1.390) и (1.393) отношение |
W |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
чательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
γ = d − βl −a + r , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
b +l −r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
β N − f +2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a = |
|
1−1/ β |
f |
|
Yf −1 |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b = |
|
βN − f +1 − |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1−1/ |
β |
f |
Yf −1 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
d = −(β +1) |
N − f +1 , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
β |
|
−(β +1) N − f +1 |
− βN − f +1 |
} |
|
l = |
|
{ |
|
|
, |
|
|
|
(β −1)(β + 2) |
|
|||
|
|
|
|
|
||
(1.411)
(1.412)
(1.413)
(1.414)
, окон-
(1.415)
(1.416)
(1.417)
(1.418)
(1.419)
|
−(β +1) N − f +1 |
−1 |
||
r = |
|
|
|
(1.420) |
|
(β −1)(β +2) |
|
||
|
|
|
|
|
141
Таблица 1.6 Распределение концентраций cs′ и потоков в идеальном несимметрич-
ном каскаде (значения параметров приведены в тексте)
|
γ = P1 / P2 = 2,868 |
|
W / P1 =12,479 |
|
cW = 0,246% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер ступени |
cs′, % |
|
θs Ls / P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,545 |
4,160 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,710 |
5,546 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,925 |
7,400 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1,205 |
8,473 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1,570 |
4,000 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2,045 |
2,868 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2,664 |
1,000 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если заданы величины β, N, f , соотношения
(1.400), (1.401), (1.408), (1.411) и (1.412) образуют полную систему для определения величин P1 / P2 и W / P1 , а также распределения концентраций и потоков по длине каскада. Распределения концен-
траций cs′ |
и потоков по ступеням идеального несимметричного |
|||||
каскада |
при |
значениях |
параметров |
k=2, |
p=2 |
|
N = 7; f = 4; β =1,303;θ = 0, 25 |
для |
разделяемой |
смеси |
|||
235UF6/238UF6 [14] приведены в табл. 1.6.
В соответствии с формулами (1.62), (1.398), (1.399) и (1.409)
удельная разделительная способность ступени несимметричного каскада при значениях параметров k=2, p=2 будет рассчитываться
по формуле |
|
δU / L = (1−3θ)ln β. |
(1.421) |
Подстановка данных, приведенных в табл. 1.6, в выражение для удельной разделительной способности (1.421) дает значение
δU / L = 0,198 .
Суммарное число разделительных элементов в каскаде может быть рассчитано по формуле
142
∑Z = |
U |
, |
(1.422) |
|
δU ЭЛ |
||||
|
|
|
||
U =P1V (cp ) + P2V (cp |
) +WV (cW ) − Fv(cF ), |
|
||
1 |
2 |
|
|
|
где
V (c) = (2c −1) ln 1−c c ≈ −ln c.
1.12.2. Несимметричный идеальный каскад с малым обогащением на ступени
Для малых обогащений на ступени можно считать концентрации всех отборов и соответственно всех отвалов приближенно одинаковыми. Это значительно упрощает условия на концах каскада
( P = P1 + + Pk , |
W =W1 |
+ +WP−1 |
, cP = cP |
= = cP , |
||
cW |
= cW = = cW |
|
|
|
1 |
K |
P −1 |
). |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
Составляя уравнения баланса потоков для смеси и для одного из компонентов в сечении между s -й и s +1-й ступенью получим:
As + As−1 + |
+ As−k +1 − Bs+1 − Bs+2 − |
− Bs+p−1 = P , |
(1.423) |
|
As (cs +δs′) + As−1(cs−1 +δs′−1 + + As−k +1(cs−k +1 +δs′−k +1 ) − |
||||
−Bs+1 (cs+1 −δs′′+1 ) − Bs+2 (cs+2 −δs′′+2 ) − |
− |
(1.424) |
||
−Bs+ p−1 (cs+ p−1 −δs′′+ p−1 ) = PcP , |
|
|
|
|
где As , Bs |
– обогащенный и обедненный потоки на s -й ступени. |
|||
Будем, как и раньше, обозначать разность cs+1 −cs через |
dcs |
. Так |
||
|
||||
|
|
|
ds |
|
как величины δ и dcdss по определению малы по сравнению с cs ,
а числа p и k невелики (не больше нескольких единиц), то с точностью до малых второго порядка можно принять.
143
δs′ =δs′−1 =…=δs′−k +1 =δ′ |
|
|
|||||
δs′′+1 =δs′′+2 =…=δs′′+p−1 =δ′′ |
|
|
|||||
|
|
||||||
dcs = dcs−1 =…= dc |
|
(1.425) |
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
ds |
|
ds |
|
ds |
|
|
|
cs = cs−1 =…= c |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Для каскадов с непрерывным распределением параметров можно также считать
As = As−1 =…= As−k+1 = A =θ L |
|
(1.426) |
|
. |
|
Bs+1 = Bs+2 =…= Bs+p−1 = B = (1−θ)L |
|
|
Величина θ в этих равенствах может быть найдена из уравнения (1.423), которое с учетом принятых приближений может быть переписано в виде:
k A − ( p −1)B = P |
|
(1.427) |
|||||||||
Считая P малым по сравнению с |
L , получим из (1.426) и |
||||||||||
(1.427): |
A |
|
|
|
θ |
|
|
p −1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
(1.428) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
B |
1 |
−θ |
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
|
|
|
p −1 |
|
|
|
|
|||
θ |
|
|
|
|
|
|
(1.429) |
||||
k + p −1 |
|
|
|
|
|||||||
Формула (1.429) получена с такой же степенью приближения, с
какой в симметричном каскаде θ = |
1 |
. Это значение θ очевидно |
||||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получается из (1.429) |
при |
k =1 и |
p = 2. С учетом выражений |
|||||||
(1.425) и (1.426) уравнение (1.424) перепишется в виде: |
||||||||||
|
′ |
|
|
dc |
|
|
|
|
|
|
k Ac + k Aδ |
− A ds [(1 |
+ 2 + 3 +…+ (k −1)] − ( p −1)Bc + |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
dc |
|
|
(1.430) |
|||
|
′′ |
|
|
|
|
|
||||
+ ( p −1)Bδ |
− B ds [(1 + 2 |
+ 3 +…+ ( p −1)] = Pcp , |
||||||||
|
|
|||||||||
144
а поскольку |
[1+ 2 + |
3 +…+ (k −1)] = |
k(k −1) |
, [1+ 2 +3 +…+, |
||||||
|
||||||||||
|
p( p −1) |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
…+( p −1)] = |
то |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 dc |
|
|
|
|
|||
k Ac + k Aδ′− |
|
[k(k −1)A + p( p −1)B] − |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
2 ds |
(1.431) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
− ( p −1)Bc + ( p −1)Bδ′′ = PcP
Умножая выражение (1.427) на c и вычитая его из (1.431), получим:
|
|
|
|
1 |
|
dc |
[k(k −1)A + p( p −1)B] = |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
. (1.432) |
||||||||
|
|
|
|
2 ds |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= kAδ′+ ( p −1)Bδ′′− P(cP −c) |
|
|||||||||||
Решая это уравнение относительно |
dc |
|
с учетом |
(1.426)и |
|||||||||||
ds |
|||||||||||||||
(1.428), будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dc = |
|
2θ |
|
|
|
εc(1 − c) − |
2P |
(cp − c) . |
(1.433) |
||||||
|
p − |
1 |
k( p −1)L |
||||||||||||
ds |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнение для приращения концентраций (1.433) является обобщением уравнения (1.85) на случай несимметричного каскада.
Рассмотри теперь условия, которым должен подчиняться идеальный каскад. Точно также как и для симметричных каскадов, условие несмешения может быть записано в виде:
cs−k +δs′−k = cs = cs+p−1 −δs′′+p−1 , |
(1.434) |
или с учетом принятых приближений, вытекающих из малости обогащения на ступени
c |
− k dc +δ′ = c |
s |
= c |
s |
+ ( p −1) dc |
−δ′′. |
(1.435) |
s |
ds |
|
ds |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Условия (1.435) можно также переписать в виде:
145
|
δ′+δ′′ |
δ |
′ |
|
δ′′ |
|
|
|||||
|
|
|
= |
k |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
p + k −1 |
|
|
p −1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.436) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
dc |
= |
δ′+δ′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
p + k −1 |
|
|
|
|
|||||||
ds |
|
|
|
|
|
|||||||
Легко проверить, что первое из условий (1.436) с учетом (1.430) совпадает с условием баланса. Таким образом, первое условие в несимметричном каскаде с произвольными p и k выполняется
автоматически так же, как и для симметричного каскада.
Из сравнения второго условия (1.436) с уравнением (1.433) следует, что для выполнения условия несмешения второй член справа от знака равенства уравнения (1.433) должен равняться половине первого, то есть
* |
|
2P(cp − c) |
|
k L |
= |
|
(1.437) |
θεc(1 − c) |
Формула (1.437) дает распределение потоков в идеальном несимметричном каскаде в зависимости от концентрации. Второе из соотношений (1.436) дает зависимость концентрации от номера ступени. Суммарный поток в каскаде составит:
* |
|
cF |
2W (c − c )dc |
cp |
2 p(cp − c) |
|
∑ L |
= |
C∫ |
W |
+ c∫ |
|
(1.438) |
θ(1 −θ)ε2c2 (1 − c)2 |
θ(1 −θ)ε2c2 (1 − c)2 |
|||||
|
|
W |
|
F |
|
|
Вынося за знак интегрирования не зависящую от c величину
θ(1−θ)ε 2 , можно вычислить оба интеграла в выражении (1.438). В результате получим:
∑ L* = |
|
2 |
|
PФ(сP , cF , cw ) , |
(1.439) |
2 |
|
|
|||
или |
ε θ(1 −θ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∑θ(1 −θ)Lε2 |
= PФ(сP , cF , cW ), |
(1.440) |
|||
|
|
2 |
|
|
|
где Ф(cP ,cF ,cW ) – функция ценности, определяемая формулой
(1.130).
146
Соотношения (1.439) и (1.440) могут быть получены также из условия минимума суммарного потока. Таким образом, в каскаде с произвольными значениями параметров p и k всегда можно най-
ти распределение L* , обеспечивающее отсутствие смешения различных концентраций (или минимальность суммарного потока). Для каскада с известными внешними параметрами произведение РФ есть величина заданная; для того, чтобы каскад при заданных внешних условиях имел наименьшее число элементов, необходи-
мо, чтобы выражение |
1 |
в соотношении (1.439) было ми- |
θ(1 −θ)ε2 |
нимальным. Это условие позволяет найти наивыгоднейшую величину θ , а, следовательно, и наилучший коэффициент несимметричности. Так, для элементов, в которых разделение происходит вдоль некоторого канала, можно принять, что [5, 7]
ε = ε |
|
1 |
ln |
1 |
, |
(1.441) |
|
|
1 −θ |
||||
|
* θ |
|
|
|||
где ε* - постоянная величина, определяемая отношением разности
масс изотопов к средней массе изотопной смеси. В данном случае функция
1 |
= |
θ |
|
|
|
|
θ(1 −θ)ε2 (θ) |
(1 −θ) ln2 |
1 |
|
|
|
|
θ(1 −θ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
имеет минимум при θ ≈ 0,8 , что соответствует несимметричному каскаду с одним потоком «вперед» и четырьмя потоками «назад»
|
|
4 |
|
|
k = 1, |
p = 5, θ = |
|
. |
|
5 |
||||
|
|
|
1.12.3. Прямоугольный несимметричный каскад
В случае слабого обогащения уравнение отборной части несимметричного прямоугольного каскада в соответствии с (1.433) имеет вид
147
dc 2θε |
|
2 p(cP −c) |
|
|
||
ds = |
|
c(1 |
−c) − |
k( p −1)L |
, |
(1.442) |
p −1 |
||||||
где L = const . Общее решение уравнения (1.442) позволяет найти SP - число ступеней в обогатительной части несимметричного ПК
|
|
|
|
|
|
S |
|
= |
|
|
|
|
p −1 |
|
ln |
1+ Χ |
, |
|
|
|
|
(1.443) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
2θεΔΨ P |
1−Χ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где величина Х определяется формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Χ = |
|
|
|
|
|
|
(cP −cF )ΔΨ P |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(1.444) |
||||||||||||||||||||
|
(1+Ψ |
P |
)(c |
P |
|
|
+c |
F |
) −2c |
c |
F |
|
−2c Ψ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
P |
P |
|
|
|
|||||||
|
|
|
ΔΨ |
P |
= (1 |
+Ψ |
P |
)2 |
|
−4Ψ |
P |
c |
12 |
, |
|
|
|
(1.445) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ |
|
P |
= |
|
|
|
p |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.446) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kθεL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Соответственно число ступеней SW |
|
в обеднительной части не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
симметричного ПК будет равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
= |
|
|
|
|
p −1 |
|
|
ln 1+ Χ , |
|
|
|
|
(1.447) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
2θε ΨW |
|
|
|
|
|
1− Χ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
Χ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cF −cW )ΔΨW |
|
|
|
|
|
|
, |
(1.448) |
||||||||||||||||||
(1+Ψ |
W |
)(c |
F |
+c ) −2c |
|
c |
|
−2c |
Ψ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
F W |
|
W |
W |
|
||||||||||
|
ΔΨ |
W |
= |
(1 |
+Ψ |
W |
)2 − |
4Ψ |
|
|
c |
|
12 , |
|
|
|
|
(1.449) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
W W |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ΨW |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.450) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kθεL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При k = 1 и p = 2 уравнения (1.442), (1.443) и (1.447) преобра-
зуются в соотношения для прямоугольного симметричного каскада.
Контрольные вопросы к первой части
1. Какую величину называют коэффициентом деления потока ступени?
148
2.Дайте определение полного коэффициента разделения ступени, коэффициентов разделения по обогащенной и обедненной фракции.
3.При каком значении концентрации в случае «слабого обо-
гащения» обогащение δ′ и обеднение δ′′ достигают максимального значения?
4.Как, согласно теории Дирака – Пайерлса, вводится понятие разделительной способности (мощности) ступени?
5.Опишите подход определения явного вида разделительного потенциала в случае «слабого обогащения».
6.Как в случае слабого обогащения связана величина разделительной способности с уменьшением энтропии при разделении на ступени?
7.Как определяют разделительной потенциал в случае произвольных обогащений на ступени?
8.Дайте определение симметричного противоточного разделительного каскада.
9.Перечислите основные параметры симметричного противоточного каскада.
10.Из каких соображений можно получить конечно-разностные уравнения, описывающие процесс разделения в каскаде?
11.Как выглядят уравнения противоточного симметричного каскада в случае «слабого обогащения»?
12.Из каких соображений можно найти минимальный поток питания каждой ступени в случае слабого обогащения?
13.Как рассчитать полное число ступеней в каскаде в случае
безотборного режима ( P =W = F = 0 )?
14.Опишите два принципиальных подхода к выбору критериев эффективности работы каскада.
15.Какой каскад называют «идеальным»?
16.Из каких практических соображений в качестве критерия оптимизации принят минимум суммарного потока питания ступеней?
17.Опишите свойства идеального каскада с малым обогащением на ступени.
18.Дайте определение функции ценности.
19.Какая величина принята за единицу работы разделения?
149
20.Каковы особенности идеального каскада с немалым коэффициентом разделения на ступенях?
21.Опишите подходы к оптимизации (по суммарному потоку) каскада с немалым обогащением на ступенях и с заданными концентрациями целевого изотопа в потоках отбора и отвала.
22.Объясните, почему суммарный поток каскада со «смешением» может оказаться меньше суммарного потока идеального каскада из несимметричных ступеней.
23.Как учитывают потери рабочего вещества при расчете идеального каскада?
24.Какой каскад называют прямоугольно-секционированным?
25.Дайте определение КПД формы каскада.
26.Объясните, почему противоточную колонну формально можно представить как прямоугольный каскад.
27.Что называется высотой, эквивалентной теоретической ступни (ВЭТС)?
28.Каковы принципы оптимизации ПСК и ПК в случае «слабого обогащения»?
29.Как распределяется коэффициент деления потока по длине прямоугольного каскада в случае произвольных обогащений на его ступенях?
30.Из каких исходных соображений можно получить дифференциальные уравнения нестационарного процесса в случае «слабого обогащения»?
31.Каковы особенности нестационарных процессов разделения
вкаскадах для разделения бинарных смесей?
32.При каких допущениях получены приближенные решения уравнения нестационарного процесса?
33.Какой каскад называют несимметричным?
34.В каком случае может быть получено аналитическое решение для несимметричного идеального каскада при произвольных обогащениях на отдельной ступени?
35.Какой вид имеет уравнение, описывающее процесс разделения в несимметричном каскаде с малым обогащением на ступени?
36.Из каких соображений можно найти минимальное число элементов в идеальном несимметричном каскаде при заданных ве-
личинах P, Cp, CF, Cw?
150