Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

ваемая коэффициентом ступенчатости. Обозначая cKi = cHi +1 = c* ,

соотношение (1.253) с учетом (1.254) приводим к квадратному уравнению:

Для секций обогатительной части каскада в формуле (1.256) следует выбирать знак минус.

Зная значения Li во всех секциях отборной части ПСК, по фор-

муле (1.256) определяют значения всех «стыковых» концентраций. Далее по формуле (1.214) находят числа ступеней на прямоугольных участках ПСК, и тогда расчет отборной части оптимального ПСК будет завершен. Аналогично проводится расчет отвальной части оптимального ПСК. При этом необходимо во всех формулах

произвести соответствующие замены ( P → −W , cP → cW ), а в формуле (1.256) следует выбрать знак плюс.

101

Заметим, что при выполнении соотношения (1.251) параметрами оптимизации становятся головной поток прямоугольно-

секционированного каскада (ПСК) - LГ (или отношение головного

Рис. 1.24. Зависимость КПД формы от относительной величины головного потока ПСК при различных числах секций в каскадах, приведенных на рис. 1.23 [4]

На рис. 1.24 представлены зависимости КПД формы ПСК от головного потока LГ при различных значениях чисел секций. Каждому значению головного потока LГ на зависимостях 1-5 соответствует максимальное значение величины К.П.Д. формы при опти-

103

η = f (LГ ) на рис. 1.24 проходит через максимум. Эти точки экс-

тремума и сами экстремумы соответствуют абсолютному максимуму величины η и, соответственно, определяют оптимальный

вариант ПСК с заданным числом прямоугольных секций. С ростом числа секций максимумы η = f (LГ ) становятся более пологими, а

при бесконечном увеличении числа секций КПД прямоугольносекционированных каскадов стремится к 100%.

1.10.ПК в случае произвольных обогащений на его ступенях

[27]

В случае немалых обогащений на ступенях ПК (рис. 1.25) с математической точки зрения представляет дискретную систему, к которой не приемлемы подходы и допущения, имеющие место для каскадов с малыми обогащениями на его ступенях.

Рис. 1.25. Схема прямоугольного каскада

По определению прямоугольного каскада на входе в каждую ступень поток одинаков, т.е. Ls = L = const, 1 ≤ s ≤ N . Для выпол-

нения этого условия в общем случае на концах каскада организуется закрутка в виде подачи части потока, выходящего с крайних ступеней в их питание

Для отвальной части каскада эти уравнения справедливы, нужно только заменить P → −W , cP → cW .

Рассмотрим способы задания коэффициентов деления потока θs в прямоугольном каскаде (см. рис.1.25) [27, 28]. Равенство

L=const налагает определенные условия на выбор θs . Общим для всех способов задания θs является периодическое повторение че-

рез ступень по всей длине каскада «базового» коэффициента деления потока, имеющего место на ступени с номером f.

Первый способ задания коэффициента деления потока состоит в том, что все коэффициенты в отвальной (обеднительной) части каскада равны «базовому», в отборной (обогатительной) части базовый коэффициент периодически повторяется через ступень:

Во втором способе наоборот, коэффициенты деления потока периодически меняются в отвальной части, а в отборной равны между собой

И, наконец, общий способ задания коэффициента деления потока состоит в следующем. Задают для разных ступеней следующие коэффициенты деления потока

мая, например, из соображений гидродинамической устойчивости каскада. Как нетрудно убедиться, первые два из описанных методов являются частными случаями третьего.

Если потребовать равенство θ в двух соседних ступенях и внешнее питание подавать в равных долях ( F2 ) в обогащенный

поток f −1-й ступени и в обедненный поток f -й ступени (см.

схему на рис. 1.26), то в этом случае приходим к следующим формулам

Рис. 1.26. Схема деления внешнего потока питания

106

Получим теперь формулы для расчета распределения концентрации по длине каскада. По определению полного коэффициента разделения ступени имеем:

c'

q = 1 −c"c' , (1.266)

1 − c"

откуда концентрация ценного (целевого) компонента в обогащенном потоке будет равна

В дальнейшем принято, что величина q по ступеням каскада не меняется.

Из балансовых уравнений (1.259) с учетом (1.266) и (1.267) следует

Чаще всего задачу поверочного расчета прямоугольного каскада формулируют следующим образом.

Задано: N, f , q,cF , P,W , F, L . Найти cP и cW , возможно и cs , а также распределение θs по длине каскада. Такой расчет необхо-

дим при исследовании оптимального управления процессом разделения при изменении режимов работы отдельных ступеней разделительного каскада, а также при использовании одного и того же каскада для разделения различных изотопных смесей. Сложность такого расчета связана с нелинейностью уравнений (1.268), а также с тем фактом, что значения концентраций на концах каскада, явно входящие в эти уравнения, неизвестны.

Невозможность аналитического решения системы (1.268) приводит к необходимости разработки и использования численных

107

итерационных методов с уточнением ориентировочно принятых начальных значений концентраций на концах каскада (см. часть 2).

Соотношения (1.259) – (1.260) и (1.268) и соответственно алгоритм расчета могут быть легко обобщены на случай ПСК

Задачу оптимизации ПК можно сформулировать следующим образом. Пусть величины P,cP ,cF ,cW , q заданы, тогда количество

свободно выбираемых переменных каскада составляет три параметра. Это дискретные параметры N (полное число ступеней в каскаде), f (номер ступени, на вход которой подают поток пита-

ния F ) и величина потока питания ступеней L = const . Значения N, f и L должны быть найдены в результате решения задачи

оптимизации. В качестве критерия оптимизации может быть выбран минимум суммарного потока.

1.11. Нестационарные (переходные) процессы в каскадах

1.11.1.Дифференциальное уравнение нестационарного разделительного процесса. Некоторые особенности нестационарных процессов [29, 30]

Одной из специфических особенностей получения стабильных изотопов (особенно в случае «слабого обогащения», реализующегося в методе газовой диффузии, а также в физико-химических методах: дистилляции, химическом изотопном обмене) является большая длительность переходных процессов в разделительных каскадах, измеряемая в ряде случаев неделями и даже месяцами, что может быть сравнимо с длительностью непрерывной работы установки.

Одной из основных целей исследовании нестационарных (переходных) процессов в каскадных установках является определение характерного «времени установления», т.е. времени от запуска каскада до достижения величин внешних потоков и концентраций, соответствующих стационарному режиму установки. Этот режим имеет место в том случае, когда в каждом сечении каскада

перенос (поток) ценного изотопа J s равен PcP для отборной и WcW для отвальной частей каскада соответственно. При этом ста-

108

ционарный режим течения разделяемой смеси устанавливается сравнительно быстро, тогда как стационарный режим по концен-

трациям в случае достигается за существенно более

длительное время.

Для получения уравнений, описывающих нестационарный процесс переноса ценного компонента в каскаде в случае «слабого обогащения», рассмотрим каскад для разделения бинарной смеси изотопов однофазным методом. Пусть в некоторое промежуточное сечение каскада подают поток питания F, а с концов каскада отбирают потоки отбора P и отвала W. Величины P, W и F в общем случае могут быть функциями от времени, но при этом должны быть связаны уравнением сохранения вещества ( F = P +W ). Предположим, что режим гидродинамических течений в каскаде установился и потоки, а также количество разделяемого вещества на каждой ступени («задержка») H (s) не зави-

сят от времени. Ниже будет показано, что такое предположение допустимо при разделении изотопов. С учетом сделанных предположений запишем условия материального баланса в произвольном сечении каскада на участке между s-ой и s+1 ступенями

ренос (поток) ценного (извлекаемого) изотопа.

В отборной части каскада перенос T равен величине потока отбора, а в отвальной части – величине потока отвала со знаком минус. Поток J (s,t) определяется накоплением ценного компонен-

та в различных частях каскада: - в отборной части

где s=1 и s= S – номера первой и последней ступеней каскада соответственно.

Для рассматриваемого случая «слабого обогащения» с точно-

стью до малых порядка ε2 система разностных уравнений (1.269), (1.270) с учетом (1.271) и (1.272) может быть приведена к уравнению в частных производных

где выражение для потока ценного изотопа определяется как

В однофазных методах разделения разделительные каскады, как правило, имеют одинаковые элементы. Это позволяет полагать, что задержка ступени прямо пропорциональна потоку L(s)

[1], т.е.

где ω – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность времени. Величина ω определяет время, на которое задерживается разделяемое вещество в ступени. При этом время, рав-

ное ω / ε2 , по порядку совпадает с продолжительностью переходных процессов, связанных установлением потока L(s). А время достижения равновесных распределений концентраций характе-

ризуется, как будет показано ниже, временем h / ε2 . Учитывая, что число ступеней в каскаде обратно пропорционально величине

ε, очевидно, что временем установления Nh можно пренебречь

иполагать H и L функциями только номера ступени.

Если ввести новые переменные

то после этого такие характеристики разделительного процесса, как ε и ω , из описания нестационарного процесса, могут быть исключены, а исходная система (1.273), (1.274) примет вид, не зависящий от конкретного метода разделения

110