Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

где M i и M j -массовые числа i-го и j-го компонентов, q0 –

коэффициент разделения, приходящийся на разность массовых чисел, равную единице.

В этом случае формулы (2.405) – ( 2.406) могут быть представлены в виде

Из (2.420)-( 2.420) непосредственно следует, что для всех компонентов с M i < M * величины gi >1, если же M i > M * , то gi <1. Анализ соотношений (2.393) и (2.394) показывает, что в

Возможность изменения числа компонентов, концентрируемых в потоках отбора или отвала за счет соответствующего выбора номеров ключевых компонентов (а, следовательно, и параметра

R-каскада обогащают все компоненты с номерами от 1 до n и «подавляются» с номерами от n+1 до m, и обедняется легкая группа.

Таким образом, величина параметра M * полностью определяет направление обогащения компонентов смеси в R-каскаде с немалыми обогащениями на ступенях.

По формулам (2.412) – (2.413) можно рассчитать концентрации компонентов в потоках отбора ciP и отвала ciW при заданных зна-

(нахождение распределений потоков по формуле (2.395), концентраций по формуле (2.396) и коэффициента деления потока по ступеням каскада по формуле (2.397)) трудности не представляет. Более сложным является расчет R-каскада с заданными концентрациями обогащаемого ценного компонента с номером n в потоках

отбора и отвала cnP и cnW , который назовем целевым, так как в

этом случае требуется найти решение системы нелинейных алгебраических уравнений (2.401) – (2.402) при i=n относительно неизвестных N и f.

При решении системы (2.401) – (2.402) следует иметь в виду два следующих обстоятельства. Во-первых, при заданных величинах

ciF , f , N, q0 величины концентраций целевого компонента в по-

токах отбора и отвала будут существенным образом зависеть от номера опорного компонента ( k = n +1, ..., m ) или выбранной ве-

личины M * . Если же заданными величинами являются cnP и cnW

выбранные из области допустимых значений), то задача их нахождения может быть в принципе решена при различных значениях k

(или M * ), т.е. в разных R-каскадах, отличающихся друг от друга числами ступеней, характером распределения потока питания ступеней по длине каскада и, наконец, величиной суммарного потока. Во-вторых, для решения системы (2.401) – (2.402) необходимо предварительно определить области допустимых концентраций в

потоках отбора и отвала cnP и cnW при заданных параметрах

gi (i =1,m), q0 и ciF (i = 1, m) .

Для определения способа нахождения области существования решений системы (2.401) – (2.402) целесообразно выявить характер зависимости концентрации целевого компонента в потоке отбора

cnP от числа разделительных ступеней в отборной и отвальной

частях каскада, считая, что целевой компонент вместе с компонентами с номерами от 1 до n-1 обогащается на отборном («легком») конце каскада. Для выполнения последнего условия достаточно пронумеровать компоненты в порядке возрастания их массовых чисел, в качестве опорного принять компонент с номером k=n+1, а

302

в узлах квазиидеального каскада потребовать отсутствия смешения по относительной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 .

На рис. 2.29 представлена зависимость концентрации cnP в по-

токе отбора целевых компонентов n=4 (83Kr) (рис. 2.29,а) и n=5 (84Kr) (рис. 2.29,б) от числа разделительных ступеней в обогатительной части квазиидеального каскада с несмешением по относи-

тельной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 при фиксированном числе

ступеней в отвальной части каскада в случае разделения природной смеси изотопов криптона (см. табл. 2.3). Коэффициент разделения, приходящийся на единичную разность массовых чисел q0, в расчетах был принят равным 1,2. Из приведенных зависимостей следует,

что на величину cnP существенно влияет длина отвальной части каскада.

а) б)

Рис. 2.29. Зависимость концентрации целевых компонентов: а – n=4 (83Kr) и б – n=5 (84Kr) в потоке отбора cnP от числа разделительных ступеней в обогатительной части квазиидеального каскада с несмешением по относительной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 при фиксированном числе ступеней в отвальной части:

1 ступень (1), 5 (2), 20 (3) и 200 (4) ступеней для случая разделения природной смеси изотопов криптона и q0=1,2

Рис. 2.30 иллюстрирует зависимость относительного приращения концентрации целевого компонента cnP −cnF cnF от длины обогатительной части каскада при фиксированном числе ступеней

303

в отвальной части для случая разделения природной смеси изотопов криптона при различных значениях параметра

соответственно. Как можно видеть из полученных зависимостей, при фиксированном конечном числе ступеней в отвальной части каскада обогащение целевого компонента на «легком» (отборном) конце каскада целесообразно проводить при выполнении условия

концентрация целевого компонента в потоке отбора.

Рис. 2.30. Зависимость относительного приращения концентрации целевого компонента cnP −cnF cnF от длины обогатительной части каскада при фикси-

рованном числе ступеней в отвальной части (f=10) для случая разделения природной смеси изотопов криптона при различных значениях параметра

При фиксированном числе ступеней в отвальной части квазиидеального каскада максимальная концентрация целевого компонента в потоке отбора может быть найдена предельным переходом N → ∞ в формуле (2.393)

304

i=1

Концентрацию целевого компонента в потоке отвала можно рассчитать по формуле

С уменьшением числа ступеней в обогатительной части каскада при фиксированной величине f концентрация целевого компонента

в потоке отбора cnP снижается.

Рассмотрим два предельных случая. В первом обогатительная секция состоит всего из одной ступени, на вход которой подают поток питания. В этом случае выражения для определения концентраций в потоках отбора и отвала (2.393) и (2.394) приводятся к виду

Во втором случае при стремлении f → ∞ формула (2.422) для

определения концентрации целевого компонента в потоке отбора приводится к известному виду [5]

а при стремлении f → 0 формула (2.422) будет иметь вид

При этом отношение логарифмов параметров gi и gn в формуле (2.427) будет больше или равно 1: ln gi ln gn ≥1 (i =1,2, ... , n) . Из

формул (2.422) и (2.427) следует, что допустимую концентрацию

305

целевого компонента в потоке отбора можно рассчитать по соотношению

Таким образом, формулы (2.422) – (2.428) при возможных значениях длин отборной и отвальной частей каскада позволяют построить кривые, ограничивающие область существования решения системы (2.412) – (2.413) (рис. 2.31).

Отметим, что поведение кривой, описывающей ограничение на cnP сверху при заданной величине cnW , которое рассчитывается

по формулам (2.422) и (2.423), не зависит от величины коэффициента разделения, приходящегося на единицу массовых чисел q0, и определяется только исходным составом разделяемой смеси.

Сравнение величин концентраций, рассчитанных по формулам (2.426), (2.427), показывает, что в квазиидеальном каскаде с немалой отвальной частью (f−1>>1) можно достичь заметно большего обогащения промежуточного компонента по сравнению со случаем отсутствия отвальной части. В некоторых случаях в каскаде без отвальной части промежуточные компоненты почти не обогащаются. Такой случай имеет место, например, при обогащении изотопа 84Kr из природной смеси в каскаде с несмешением по относитель-

ной концентрации R56 = c5 c6 (рис. 2.29, n=5).

Рис. 2.31. Область допустимых значений концентрации целевого компонен-

та в потоке отбора cnP и отвала cnW квазиидеального каскада при равенстве относительной концентрации R45 = c4 c5 в потоках, поступающих

на вход ступеней, для коэффициента разделения, приходящегося на единичную разность массовых чисел q0, равного 1,1 (1), 1,3 (2) (кривые, описывающие ограничение сверху для случаев 1 и 2 совпадают)

306

В случае «слабого обогащения» на ступенях каскада формулы

(2.422), (2.423), (2.426), (2.427) переходят в соответствующие соот-

ношения для Q-каскада, приведенные в разделе 2.3.4.1.

По формулам (2.423), (2.425) для расчета концентрации целевого компонента в потоке отвала при заданной концентрации в пото-

ке отбора cnP можно определить минимальную длину отвальной

секции каскада и тем самым максимально возможную концентрацию целевого компонента в потоке отвала, при которой возможно получить заданное обогащение. Поскольку при (f−1)→(f−1)min воз-

растает длина обогатительной части каскада giN → ∞ при ( i =1,n ;

giN → ∞ при i = n +1, m ) суммарный поток в квазиидеальном

каскаде (или в частном случае R-каскада) в соответствии с соотношением (2.397) будет стремиться к бесконечности. В то же время

требуемая концентрация в потоке отбора cnP может быть получена

при любых значениях (f−1)→(f−1)min. Причем с ростом величины (f−1) длина обогатительной части (N−f+1) будет уменьшаться. При (f−1)→ (то есть при cnW →0) суммарный поток в каскаде будет

неограниченно возрастать. Другими словами, при фиксированной концентрации целевого компонента в отборе в интервале значений, определяющих длину отвальной части (f−1)min <(f−1)< , находится оптимальное число ступеней, при котором суммарный поток в квазиидеальном каскаде (или R-каскаде, являющемся частным его случаем) будет минимален. Чем большее обогащение в квазиидеальном каскаде необходимо получить, тем больше будет величина (f−1)min, т.е. тем больше должна быть длина отвальной части, при которой суммарный поток в каскаде минимален. В силу того, что целевой компонент в отвальной части обедняется, его оптимальная концентрация в потоке отвала будет также уменьшаться с ростом концентрации целевого компонента в потоке отбора.

Наличие оптимальной отвальной части в каскадах для разделения многокомпонентных изотопных смесей существенно отличает их от каскадов для разделения бинарных смесей, в которых минимум суммарного потока всегда соответствует случаю отсутствия отвальной части и в которых нет ограничения на предельную концентрацию обогащаемого компонента.

307

алгоритм расчета R-каскада на заданные концентрации целевого

(n – номер целевого компонента, k-номер «опорного» компонента). 2. Задают требуемые концентрации целевого компонента в

отводимых из каскада потоках cnP , cnW из определенной заранее

области допустимых значений.

3. Решая систему (2.412) – (2.413) для ключевого (целевого) компонента, находят величины относительных концентраций RnkP и

RnkW .

4.По соотношениям (2.412) – (2.413) рассчитывают остальные концентрации компонентов в отводимых из каскада потоках F/P и W/P по формулам (2.410), (2.411), а по соотношениям (2.408) – (2.409) величины N и f.

5.Расчет суммарного потока проводят по формуле (2.417).

Вкачестве иллюстрации ниже приведены результаты расчета R-каскада для обогащения потока изотопа 180W (в виде гексафторида вольфрама) с использованием газовых центрифуг, полученные в работе [61].

Исходные данные расчета:

1.Коэффициент разделения ступени, приходящийся на

единичную разность массовых чисел q0 …………………1,16306

2.Поток питания одиночной центрифуги, г W/сек…...…0,074

3.Концентрации компонентов в потоке питания:

cF (180) …………………………………………...0,00140 cF (182) …………………………………………...0,26416 cF (183) ……………………………………….......0,14440 cF (184) …………………………………………...0,30618 cF (186) …………………………………………...0,28417

4. Величина M * ………………………………………........…...181

308

5.Поток отбора, кг·W/сут………………………………………1,0

6.Концентрация целевого изотопа (180W)

впотоке отбора…………………………………………..….≥0,5

7.Коэффициент извлечения целевого изотопа,

PcP (180) , %...................................................................…...~90 FcF (180)

Результаты расчета:

1.Число ступеней в обогатительной

части каскада, N-f+1…………………………………….……..35

2.Число ступеней в обеднительной части каскада, f-1….....….14

3.Концентрации компонентов в потоке отбора:

cP (180) …………………………………………….0,5194

cP (182) …………………………………………...0,48756 cP (183) …………………………………………...0,00148 cP (184) …………………………………………...0,00002 cP (186) …………………………………………...0,00000 4. Концентрации компонентов в потоке отвала:

cW (180) …………………………………………...0,00014 cW (182) …………………………………………...0,26361 cW (183) …………………………………………...0,14444 cW (184) …………………………………………...0,30693 cW (186) …………………………………………...0,28487

5.Поток отвала, W, кг·W/сут………………………….......…..406

6.Поток питания F, кг·W/сут…………………………..…..…407

7.Число центрифуг, соединенных в параллель в «головной» ступени каскада (s=f)…………………………………………...645

8.Суммарное число центрифуг в обогатительной части каскада………………………………………………………..……3210

9.Суммарное число центрифуг в обеднительной части каскада……………………………………………………........…..7018

10.Общее число центрифуг в каскаде………………...........10228

Втабл. 2.13 представлены распределения концентраций

компонентов, величин Ls и θs по ступеням каскада.

309

В рассмотренном примере в качестве целевого компонента выступает изотоп 180W, а в качестве опорного изотоп 182W. Если концентрация целевого изотопа 180W, являющегося крайним компонентом, меняется монотонно от первой до последней ступени каскада, то концентрация изотопа 182W достигает максимального значения на ступени с номером s=29 и далее убывает по направлению к «легкому» концу каскада. Другими словами, «отделение» целевого изотопа 180W от остальных компонентов смеси происходит на участке каскада с номерами ступеней s от 29 до 49. Из табл. 2.13 видно, что поток Ls имеет максимальное

значение в «головной» ступени каскада (s=15) и убывает по направлению к «легкому» и «тяжелому» концам каскада.

Таблица 2.13 Концентрации компонентов, величины потоков и коэффициенты среза на

ступенях R-каскада для концентрирования 180W

310