Тема 3. Дискретные случайные величины

Лекция 1 Вопросы:

1 Дискретные величины и их виды.

2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

3 Математическое ожидание и его свойства.

4 Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

5 Одинаково распределенные взаимно-независимые случайные величины.

1 Дискретные величины и их виды.

Случайной величиной (СВ) называют такую величину, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать какое именно значение она примет. Случайные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита – X,Y,Z… Случайные величины могут быть трех типов:

- дискретные:

- непрерывные;

- смешанные (дискретно-непрерывные).

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число значений. Например, подбрасываем монету 5 раз. Случайная величина Х - число появлений герба: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Непрерывная случайная величина (НСВ) в отличие от ДСВ принимает бесконечное несчетное число значений. Например, мишень имеет форму круга радиуса R. По этой мишени произвели выстрел с обязательным попаданием. Обозначим черезYрасстояние от центра до точки попадания в мишень,Y [0; R].Y- непрерывная случайная величина, так как она принимает бесконечное неcчетное число значений.

Пусть Х - дискретная случайная величина, которая принимает значения: x₁, x₂, …,x_nнекоторой вероятностью р_i, где i = 1, 2,…,п, тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина Х приняла значение x_i: р_i=P(X =x_i).

2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Законом распределения случайной величина называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, графика или аналитически.

Значения x_iи соответствующие р_i представляют в виде таблицы:

xi	x1	x2	x3	…	xn
рi	р1	р2	р3	…	рn

Эта таблица является одной из форм задания ДСВ. Обычно значения случайной величины располагаются в возрастающем порядке. Основное свойство таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна 1:

= р₁+ р₂ + р₃ +…+ р_n+…= 1. (2.1)

Дискретная случайная величина может быть представлена так же в виде многоугольника (полигона) распределения – фигуры состоящей из точек (x_i,p_i), соединённых отрезками.

Над случайными величинами устанавливаются операции сложения и умножения.

1. Суммой двух случайных величин Х и Yназывается случайная величинаZ, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величиныY, соответствующие вероятности перемножаются.

2. Произведением двух случайных величин Х и Yназывается случайная величинаU, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины Х и всех значений случайной величиныY, соответствующие вероятности перемножаются.