2)Однофакторный дисперсионный анализ.

Рассмотрим несколько наиболее распространенных вариантов эксперимента, организуемого для проведения дисперсионного анализа: однофакторный, двухфакторный и трехфакторный анализ с разным числом уровней факторов и разным числом опытов на каждом уровне.

Однофакторный эксперимент (один фактор А)

Значения измеряемого признака – Х.

1.Эксперимент на двух уровнях, i=1,2 (рис а):

- без повторных опытов, m= 1;

- cповторными опытами, одинаковое число опытов на каждом уровне,

m= 1,2,…,n.

- cповторными опытами, разное число опытов на каждом уровне

m= 1,2,…,n.

2.Эксперимент на нескольких уровнях, i=1,2,…,a(рис.б):

- без повторных опытов, m= 1;

- cповторными опытами, одинаковое число опытов на каждом уровне

m= 1,2,…,n;

- cповторными опытами, разное число опытов на каждом уровне

m= 1,2,…,n.

а) б)

Рис.Точки эксперимента в однофакторном анализе: а) два уровня А,i=1,2; б) несколько уровней А,i=1,2,…,a

Таблица представляет исходные данные однофакторного эксперимента на двух уровнях с одинаковым числом повторных опытов. Число групп (H) равно числу уровней:A,A;i=1,2.

Данные для однофакторного анализа, равное число опытов

Уровни (группы)	Результаты опытов: X,m= 1,2,…n
	X	…	X	…	X
A	X	…	X	…	X
A	X	…	X	…	X

Лекция 2 Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.

Двухфакторный эксперимент (факторы А и В)

Значения измеряемого признака - Х.

Эксперимент на нескольких уровнях, i=1,2,…,a;j= 1,2,…,b:

- без повторных опытов, m= 1;

- cповторными опытами, одинаковое число опытов на каждомij- уровне,m= 1,2,…,n;

- cповторными опытами, разное число опытов на каждомij-уровне,m= 1,2

Таблица 1Данные для двухфакторного анализа на двух уровнях, разное число опытов

№ строки (группы)	Сочетания уровней А В	Результаты опытов: Х;m= 1,2,…n
		X	…	X	…	X	X
1	1; 1	X	…	X	…	X	X
2	1; 2	X	…	X	_	_	_
3	2; 1	X	…	X	…	X	X
4	2; 2	X	…	X	…	X	_

Таблица 2 Данные для двухфакторного анализа на нескольких уровнях, равное число опытов

№ строки	Сочетания уровней А В	Наблюденные значения признака в группах, X
		1-й опыт	…	m- опыт	…	n-опыт
1	1; 1	X	…	X	…	X
2	1; 2	X	…	X	…	X
…	…	…	…	…	…	…
ij	i; j	X	…	X	…	X
…	…	…	…	…	…	…
H	а; b	X	…	X	…	X

Число групп (H) равно числу перестановок уровней:ij= 1,2,…,H

Модель однофакторного дисперсионного анализа.

Основное уравнение дисперсионного анализа:

SS=SS+SS_ε(12.7)

Одинаковое число повторных опытов (m= 1,2,…,n):

SS= (12.8)

где SS- общая сумма квадратов разностей наблюдений и их среднего значения;

SS=n(12.9)

где SS- сумма квадратов между группами (вклад в общую сумму квадратов, обусловленный различиями в уровнях фактора А);

SS=, (12.10)

где SS- сумма квадратов внутри групп – остаток, вклад в общую сумму квадратов, вызванный случайной изменчивостью данных внутри групп (или сумма квадратов случайных эффектов - ошибка опыта).

= , (12.11)

где- общее среднее,N=an– общее число опытов;

= , (12.12)

где- среднее значение наiуровне фактора А.

Разное число повторных опытов (m=1,2,…,n):

SS=;SS=;SS= ; (12.13)

= ;N= ; =(12.14)

Оценки дисперсий и определение числа степеней свободы

S= - оценка общей дисперсии; ν=N- 1 - число степеней свободы при определении общей дисперсии;

S=- оценка дисперсии по уровням фактора А;ν=a–1 - число степеней свободы фактора А;

S= - остаточная оценка дисперсии (дисперсия ошибки);

ν=N–a- число степеней свободы при определении ошибки.

ν=ν+ν=N– 1 = (a–1) + (N–a) (12.15)

Проверка H- гипотезы

Расчетное значение критерия:

F= . (12.16)

Критическое значение Fопределяется по прил.4 при α,ν=νиν=ν. Если

FFпри α ,ν,ν, (12.16)

то гипотеза H- принимается. В противном случае – отклоняется.