§5. Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость не проходит через начало координат и пересекает все оси декартовой системы координат соответственно в точках , то ее уравнение на основании предыдущего параграфа можно записать в виде

,

или

.

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

§6. Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат x, y, zдве плоскости заданы своими общими уравнениями

(3.12)

(3.13)

Рассмотрим условия различного расположения таких плоскостей.

6.1. Условие пересечения двух плоскостей и угол между ними

Теорема.Для того, чтобы плоскости, заданные уравнениями (3.12) и (3.13) в декартовой прямоугольной системе координат, пересекались, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты приx, y, zв уравнениях (3.12) и (3.13) не были пропорциональны или чтобы хотя бы один из определителей

(3.14)

был отличен от нуля.

Доказательство. Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей является неколлинеарность их нормальных векторови. Вектора жеинеколлинеарны тогда и только тогда, когда непропорциональны их соответствующие координаты (кн.2, гл.4, §3, п.3.3), т.е. когда хотя бы один из определителей (3.14) отличен от нуля. Например,

означает, что;

означает, что.

Найдем угол между пересекающимися плоскостями. Под этим углом мы будем понимать один из смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Пусть угол между данными плоскостями φ. Тогда угол между нормальными векторами этих плоскостейитакже будет равенφили. Уголφнайдем по формуле скалярного произведения двух векторови:

. (3.15)

Положив в этой формуле , получимусловие перпендикулярности плоскостей:

.

6.2. Условие параллельности двух плоскостей

Теорема.Для того, чтобы плоскости (3.12) и (3.13) были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты приx, y, zв уравнениях (3.12) и (3.13) были пропорциональны, но чтобы свободные члены не были им пропорциональны, т.е. чтобы существовало такое число, что, или чтобы определители

,

но хотя бы один из определителей

не был равен нулю.

Доказательство.Необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей (3.12) и (3.13) является коллинеарность их нормальных векторови. Из условия коллинеарности векторов имеем, или

(3.16)

С другой стороны, необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей (3.12) и (3.13) является несовместность системы из уравнений (3.12) и (3.13), т.е. любое решение уравнения (3.12) не является решением уравнения (3.13), – это значит, что ни одна из точек, лежащих на плоскости, заданной уравнением (3.12), не лежит на плоскости, заданной уравнением (3.13). На основании теоремы Кронекера-Капелли система несовместна, если ранги основной и расширенной матриц не одинаковы. В рассматриваемом случае все миноры второго порядка основной матрицы системы равны нулю, а среди миноров первого порядка есть отличные от нуля, так как один из коэффициентов как в уравнении (3.12), так и в уравнении (3.13) не должен быть равен нулю. Следовательно, ранг основной матрицы системы равен единице:. Поэтому, чтобы система из уравнений (3.12) и (3.13) была несовместна, ранг ее расширенной матрицыдолжен быть равен двум, а это значит, что среди миноров второго порядкадолжен быть минор, отличный от нуля. Данное условие равносильно тому, что.