§8. Взаимное расположение двух прямых

Теорема. Пусть относительно декартовой системы координат даны уравнения двух прямых

. (2.15)

Тогда необходимое и достаточное условие того, что эти прямые пересекаются, имеет вид

.(2.16)

Необходимое и достаточное условие того, что эти прямые параллельны, имеет вид

.(2.17)

Необходимое и достаточное условие того, что эти прямые совпадают, имеет вид

.(2.18)

Необходимое и достаточное условие совпадения двух прямых можно сформулировать и так: существует такое число , что

.

Эта теорема следует из того, что условия (2.16), (2.17) и (2.18) являются необходимыми и достаточными признаками того, что система (2.15) имеет соответственно только одно решение, не имеет решений или является неопределенной (т.е. имеет множество решений).

Замечание. Условиеможно записать в виде, а условиев виде.

Условие , илиесть необходимое и достаточное условие того, что две прямые, заданные относительно декартовой системы координат уравнениями (2.15), или параллельны, или совпадают (иначе, что эти прямые коллинеарны).

§9. Нормальное уравнение прямой

Уравнение прямой, заданной относительно прямоугольной декартовой системы координат, называетсянормальным, если нормальный векторк этой прямой являетсяединичным, т.е. если.

Для приведения к нормальному виду общего уравнения прямой , заданной относительно прямоугольной декартовой системы координат, следует умножить левую часть данного уравнения на числоМ:

и выбрать Мтак, чтобы вектор (АМ, ВМ) был единичным:

;

отсюда

.

Таким образом, для каждой прямой всегда получим два нормальных уравнения

.

Это ясно и из того, что существуют два различных единичных вектора, перпендикулярных к данной прямой.

Множители Мназываютсянормирующими множителями.Радикалесть модуль нормального векторак данной прямой, так что

.

Коэффициенты нормального уравнения прямой, заданной уравнением

относительно декартовой прямоугольной системы координат, имеют простой геометрический смысл:

,

где αиβ– соответственно углы между ортамииосей координатОх, Оуи нормальным векторомк прямой, ар– расстояние от начала координат до этой прямой.

Рис. 3.5

Если , тоАиВявляются косинусом и синусом углаот положительного направления осиОх до вектора, гдеР₀– основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую, а– длина этого перпендикуляра (рис.3.5).

В самом деле, если , то векторыине только коллинеарны (оба они перпендикулярны данной прямой), но и направлены в одну сторону, так как.

Поэтому угол αот осиОх до вектораравен углуαот векторадо нормального векторак данной прямой и, значит,.

Таким образом, нормальное уравнение прямой, не проходящей через начало координат, можно записать (а часто так и пишут) в виде

, (2.19)

где α иримеют значения, указанные выше (рис.3.5).

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду (2.19), необходимо его левую часть умножить на нормирующий множитель

,

причем из условия следует, что знакМвыбирается противоположным знакуС.