5.2. Полярная система координат в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты

Рассмотрим в пространстве координатную плоскость Р, на которой задана полярная система координат. ПустьOz –координатная ось, перпендикулярная плоскостиРи пересекающая ее в полюсеО. Координатная осьOz направлена так, чтобы из конца положительного направления осиOz направление отсчета положительных значений полярного углаφот полярной осиОхбыло видно против часовой стрелки. Совокупность этих элементов называетсяполярной системой координат в пространстве(рис.3.2).

Координатная плоскость Рназываетсяэкваториальной, а координатная осьOz–зенитной. Для удобства будем полагать, что масштабные отрезки одинаковы (ОЕ₁=ОЕ₂) и точка отсчетаОкоординатной осиOzсовпадает с полюсомО.

Цилиндрическими координатами точкиМ, не лежащими на зенитной оси, называется упорядоченная тройка чиселρ, φ, z, гдеρиφ– полярные координаты ортогональной проекцииМ_р точкиМна экваториальную плоскость, аz– координата на зенитной осиOzпроекцииМ_z точкиМна зенитную ось (рис. 3.3). Для точек зенитной оси считаютρ = 0,φ– любое число, аzопределяется так, как указано выше. Тот факт, чтоρ, φ иzесть цилиндрические координаты точкиМ в пространстве, записывают так:М(ρ,φ,z).

Заметим, что при помощи цилиндрических координат не устанавливается взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек геометрического пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Сферическими координатами точкиМ, не лежащей на зенитной оси, называется упорядоченная тройка чиселr, φ, Θ, гдеr– длина отрезкаОМ,φ– угол от полярной осиОхдо лучаОМ_р(М_р– проекция точкиМна экваториальную плоскость), аΘ– угол между лучамиОМ_риОМ, который принимает значения в интервале, причем считается, чтоΘ= 0, если точкаМлежит в экваториальной плоскости,Θ> 0, если лучОМобразует острый угол с зенитной осью, иΘ< 0, если лучОМобразует тупой угол с зенитной осью (рис.3.4).

Рис. 3.4

Если точка М лежит на зенитной оси и не совпадает с полюсомО, то считают, чтоφ– любое число, аилив зависимости от того, совпадает ли направление лучаОМ с направлением зенитной оси или противоположно ему. Для полюса считаютr= 0,φиΘ– любые числа. При помощи сферических координат не устанавливается взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.

Найдем зависимости между прямоугольными декартовыми координатами точки М(х, у, z) и ее цилиндрическими координатамиМ(ρ, φ, z) и сферическими координатамиМ(r, φ, θ). Введем декартову прямоугольную систему координат, принимая за положительную полуосьОхполярную ось, за осьОу– ось, полученную из осиОхповоротом ее вокруг полюса в экваториальной плоскости на уголи зенитную ось за осьОz (рис.3.4.).

Из рис.3.4, учитывая формулы (1.7) и рис.3.3. находим

,,z= z(1.12)

Cдругой стороны,, а, значит,

(1.13)

Формулы (1.12) и (1.13) верны и для того случая, когда точка Млежит на зенитной оси и когда она совпадает с полюсом (при дополнительных соглашениях о величинахρ иφв этом случае).

По формулам (1.12) вычисляются декартовы прямоугольные координаты точки Мв случае, если известны ее цилиндрические координаты, а по формулам (1.13) – если известны ее сферические координаты.

Из формул (1.13) следует, что

откуда

значит,

(1.14)

По этим формулам вычисляются сферические координаты r,φ, ΘточкиМ, не лежащей на зенитной оси по ее декартовым прямоугольным координатамx,y,z (при указанном взаимном расположении этих двух систем координат).

Цилиндрические координаты ρ, φ, zточкиМ вычисляются по ее декартовым прямоугольным координатамx, y, zиз формул (1.12) с учетом формул (1.8) и (1.9) или (1.10).

Аналогично декартовым координатам определяется уравнение поверхности в сферических координатах:

и в цилиндрических координатах .

Замечание.Вторую сферическую координатуφчасто называютдолготой, третьюΘ – широтой. Иногда вместо широтыΘрассматривают уголψ между положительным направлением зенитной оси и лучомОМ, идущим из полюсаО в данную точкуМ; величинаψизменяется в пределах от 0 доπ. Величинаψназываетсязенитным расстоянием.

Так как , то в формулах (1.13) и (1.14) (в случае, если за третью сферическую координату принимается зенитное расстояние)иследует заменить соответственно наи .